Question

20 баллов за решение, желательно с чертежом и дано, заранее спасибо: В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно b и наклонено к плоскости основания под углом альфа. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Answer 1

на фото....................

Answer 2

Для начала, давайте определим некоторые обозначения:

Пусть ABCD - правильная четырехугольная пирамида с вершиной O (центр сферы, описанной около пирамиды). Пусть b - боковое ребро пирамиды. Пусть α - угол между боковым ребром и плоскостью основания (угол наклона).

Мы хотим найти радиус сферы, описанной около пирамиды (радиус R).

Теперь давайте построим плоскость, содержащую ребро боковой грани AB и проходящую через центр сферы O. Эта плоскость будет делить пирамиду на две правильные треугольные пирамиды: OAB и OBC.

Мы знаем, что треугольник OAB - правильный треугольник, поскольку это боковая грань правильной пирамиды.

Также, давайте обозначим точку M - середина ребра BC (точка, в которой боковое ребро пересекается с плоскостью основания). Из этого следует, что треугольник OBM также является правильным треугольником.

Теперь у нас есть следующая информация:

1. Длина стороны треугольника OAB равна b (боковое ребро пирамиды).
2. Длина стороны треугольника OBM равна b (половина длины бокового ребра).
3. Угол OBM равен α (так как угол OBC равен α, а треугольники OBC и OBM равнобедренные).

Теперь, мы можем найти высоту треугольника OBM (h) с использованием теоремы косинусов:

cos(α) = Adjacent / Hypotenuse cos(α) = BM / OB cos(α) = b / R (так как OB = R и BM = b)

h = BM = R * cos(α)

Также, мы можем найти сторону треугольника OBM (L) с использованием теоремы Пифагора:

L^2 = OB^2 - BM^2 L^2 = R^2 - (R * cos(α))^2 L^2 = R^2 - R^2 * cos^2(α) L^2 = R^2 * (1 - cos^2(α)) L = R * sqrt(1 - cos^2(α))

Теперь, давайте рассмотрим треугольник OAB. Мы знаем, что это правильный треугольник, и сторона равна b.

Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника OAB (h'):

h'^2 = OA^2 - L^2 h'^2 = R^2 - (R * sqrt(1 - cos^2(α)))^2 h'^2 = R^2 - R^2 * (1 - cos^2(α)) h'^2 = R^2 * cos^2(α)

h' = R * cos(α)

Теперь у нас есть две высоты пирамиды: h (высота треугольника OBM) и h' (высота треугольника OAB). Обратите внимание, что h' является высотой от вершины пирамиды до плоскости основания.

Теперь, мы можем найти радиус сферы, описанной около пирамиды, используя теорему Пифагора для треугольника OOB (прямоугольный треугольник):

R^2 = h^2 + h'^2 R^2 = (R * cos(α))^2 + (R * cos(α))^2 R^2 = R^2 * cos^2(α) + R^2 * cos^2(α) R^2 = 2 * R^2 * cos^2(α)

Теперь, деля обе стороны на 2 * cos^2(α), получим:

R^2 / (2 * cos^2(α)) = R^2

И, наконец:

R = sqrt(R^2 / (2 * cos^2(α))) R = sqrt(R^2) / sqrt(2 * cos^2(α)) R = R / sqrt(2 * cos^2(α)) R = R / sqrt(2) * sqrt(cos^2(α)) R = R / sqrt(2) * cos(α)

Таким образом, радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, равен R / sqrt(2) * cos(α).