Question

В треугольнике ABC угол А равен 30° угол В равен 45° BC равен 10 корень из 2. Найти AC

Answer 1

По теореме синусов

$\displaystyle\frac{BC}{ \sin(A) } = \frac{AC}{ \sin(B) } \\ \\ \frac{10 \sqrt{2} }{ \sin(30) } = \frac{AC}{ \sin(45) } \\ \\ 10 \sqrt{2} \div \frac{1}{2} = AC \div \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ 10 \sqrt{2} \times 2 = AC \times \frac{2}{ \sqrt{2} } \\ \\ 20 \sqrt{2} = \frac{2AC}{ \sqrt{2} } \\ \\ 20 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2AC \\ \\ 20 \sqrt{4} = 2AC \\ \\ 20 \times 2 = 2AC \\ \\ 40 = 2AC \\ \\ AC = \frac{40}{2} = 20$

Ответ: 20

Answer 2

Для нахождения стороны AC треугольника ABC, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C),$

где a, b и c - длины сторон треугольника, а C - противолежащий угол к стороне c.

В данном случае у нас есть два известных угла, а именно угол A = 30° и угол B = 45°, и одна известная сторона, BC = 10√2. Мы хотим найти сторону AC.

Для начала найдем угол C. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:

$C = 180° - A - B = 180° - 30° - 45° = 105°.$

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения стороны AC:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(C).$

Мы знаем, что угол C равен 105°, а сторона AB равна AC, так как треугольник ABC является равнобедренным, где углы A и B равны.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(105°).$

Теперь подставим известные значения и решим уравнение:

$AC^2 = AB^2 + (10\sqrt{2})^2 - 2 \cdot AB \cdot 10\sqrt{2} \cdot \cos(105°).$

$AC^2 = AB^2 + 200 - 20\sqrt{2} \cdot AB \cdot (\frac{\sqrt{2} + 1}{2}).$

Так как AB равно AC, обозначим его за x:

$x^2 = x^2 + 200 - 20\sqrt{2} \cdot x \cdot (\frac{\sqrt{2} + 1}{2}).$

Теперь упростим выражение:

$0 = 200 - 10\sqrt{2} \cdot x \cdot (\sqrt{2} + 1).$

Теперь решим уравнение относительно x:

$10\sqrt{2} \cdot x \cdot (\sqrt{2} + 1) = 200.$

$x \cdot (\sqrt{2} + 1) = 20.$

$x = \frac{20}{\sqrt{2} + 1}.$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим и числитель и знаменатель на $\sqrt{2} - 1$:

$x = \frac{20(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}.$

$x = \frac{20(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1}.$

$x = 20(\sqrt{2} - 1).$

Таким образом, длина стороны AC равна $20(\sqrt{2} - 1)$