Question

На стороне AB параллелограмма ABCD взята точка K. Отрезок DK пересекает диагональ AC в точке O. Найдите отношения AO:OC, если AK=12, KB=6.

Answer 1

Треугольники АОВ и ОСD подобны (по углам).

АО:ОС=АК:СD  СD=12+6=18

АО:ОС=12:18=2:3

Ответ: 2:3

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам. То есть, пусть точка M - середина диагонали AC, а точка N - середина диагонали BD.

Таким образом, получаем следующую схему:

mathematicaCopy code
       B_______N______C
       /               \
      /                 \
     /                   \
    /                     \
   /                       \
A/_________________________\D
             |
             |
             K
             |
             |

Сначала найдем точку O, пересечение отрезка DK и диагонали AC. Поскольку M - середина диагонали AC, то согласно теореме Талеса для треугольника AOK и прямой DK (проведенной через точку K и параллельной BC), получаем:

AO / OK = AM / MK

AM = AC / 2 (так как M - середина диагонали AC)

MK = DK - DM = KB - DM (так как параллелограмм ABCD)

DM = DC / 2 (так как M - середина диагонали DC)

Теперь, выразим DC и DK через KB:

DC = 2 * DM = 2 * (AC - AM) = 2 * (AC - AC / 2) = AC

DK = DM + MK = DC + KB = AC + KB = AC + 6

Теперь можно записать отношение AO к OK:

AO / OK = (AC / 2) / (KB - DC / 2) = (AC / 2) / (KB - AC)

Теперь у нас есть отношение AO к OK, но нам нужно найти отношение AO к OC. Из свойства параллелограмма следует, что AC = BD, а значит, DC = AC - KB = AC - 6.

Подставим это значение в предыдущее выражение:

AO / OK = (AC / 2) / (KB - AC) = (AC / 2) / (KB - (AC - 6)) = (AC / 2) / (KB - AC + 6)

Теперь заметим, что KB = AK + AB = 12 + 6 = 18:

AO / OK = (AC / 2) / (18 - AC + 6) = (AC / 2) / (24 - AC)

Теперь у нас есть выражение для отношения AO к OK. Однако нам также известно, что AO:OC = 1:1, так как диагонали параллелограмма делятся пополам.

Таким образом, мы можем записать:

AO / OK = AO / OC

Так как AO / OK = (AC / 2) / (24 - AC), то и AO / OC = (AC / 2) / (24 - AC)

Теперь зная, что AO / OC = 1 / 1, можем записать:

(AC / 2) / (24 - AC) = 1

Теперь решим уравнение относительно AC:

AC / 2 = 24 - AC

AC = 48 - 2 * AC

3 * AC = 48

AC = 48 / 3

AC = 16

Теперь, чтобы найти AO и OC, подставим значение AC обратно в выражение:

AO = AC / 2 = 16 / 2 = 8

OC = 24 - AC = 24 - 16 = 8

Таким образом, отношение AO:OC равно 8:8, что равно 1:1.