Question

Помогите решить, срочно! (20 балов) y= - x^2 - x + 2 1) найти области определения и значения функций. 2) вычислить точки пересечения графика с осями координат. 3) исследовать функцию на многотонность. 4) найти точки экстремума и вычислить значения функций в этих точках. 5) построить график функции. y= - x^2 - x + 2

Answer 1

1)Область определения квадратичной функции - (-∞;+∞)

2)Точки пересечения с осью ох ищем  из условия у=0, решая квадратное уравнение -х²-х+2=0, или х²+х-2=0, дискриминант равен 1-4*1*(-2)=9, значит, 2 различных корня уравнение имеет. Это -2 и 1. Значит,  точки пересечения с осью ох такие (-2;0) м (1;0)

А точки пересечения с осью оу ищем из условия х=0, т.е. , если х=0, то у=-0²-0+2, и точка пересечения с осью ординат одна, а именно (о;2)

3) найдем производную функции , решив уравнение игрек штрих равен нулю, т.е. найдем производную этой функции. она равна -2х-1. Приравниваем ее к нулю. -2х-1=0, -2х=1, откуда, х= -1/2, при переходе через точку х= -1/2 производная мЕняет знак с плюса на минус,  значит, на промежутке(-∞;-1/2) функция ВОЗРАСТАЕт, а на промежутке (-1/2;+∞) ФУНКЦИЯ УБЫВАЕТ.

4) Точка х=-1/2 - точка экстремума, а именно точка максимума, значение функции в ней равно -(-1/2)²-(-1/2)+2=-1/4+1/2+2=1+(1/4), по данным исследования строим график.

Answer 2

Хорошо, давайте по порядку решим каждый пункт.

1. Найти области определения и значения функции:

Область определения (Domain) функции определяется так, чтобы аргумент функции (в данном случае "x") находился в тех значениях, для которых функция имеет смысл. В данном случае уравнение функции y = -x^2 - x + 2 не содержит никаких ограничений, и x может принимать любые значения. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел: x ∈ (-∞, +∞).

Значения функции (Range) - это множество значений, которые функция может принимать. В данном случае, поскольку функция является параболой с отрицательным коэффициентом при квадратичном члене, она будет иметь максимальное значение в вершине параболы. Мы можем найти координаты вершины параболы, чтобы определить максимальное значение.

2. Вычислить точки пересечения графика с осями координат:

Для точек пересечения с осями координат, нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение.

y = -x^2 - x + 2

Для точек пересечения с осью X (y = 0):

0 = -x^2 - x + 2

Теперь решим квадратное уравнение:

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

x + 2 = 0 => x = -2 x - 1 = 0 => x = 1

Таким образом, точки пересечения с осью X: (-2, 0) и (1, 0).

Теперь, чтобы найти точку пересечения с осью Y (x = 0), подставим x = 0 в уравнение:

y = -0^2 - 0 + 2 = 2

Точка пересечения с осью Y: (0, 2).

3. Исследовать функцию на монотонность:

Для исследования функции на монотонность, нужно выяснить, в каких интервалах функция возрастает и убывает. Функция y = -x^2 - x + 2 представляет собой параболу с отрицательным коэффициентом при квадратичном члене, и таким образом, она будет убывать на всей области определения, так как ветви параболы направлены вниз.

4. Найти точки экстремума и вычислить значения функций в этих точках:

Точка экстремума параболы находится в её вершине. Вершина параболы имеет координаты x_v и y_v и вычисляется по формуле:

x_v = -b / 2a y_v = f(x_v)

где a, b и c - это коэффициенты в уравнении параболы y = ax^2 + bx + c.

Для данной функции y = -x^2 - x + 2:

a = -1, b = -1, c = 2

x_v = -(-1) / 2(-1) = -1/(-2) = 1/2

Теперь найдем значение функции в точке x_v:

y_v = -(1/2)^2 - 1/2 + 2 = -1/4 - 1/2 + 2 = 7/4 = 1.75

Таким образом, точка экстремума (вершина параболы) имеет координаты (1/2, 1.75).

5. Построить график функции:

Для построения графика, используем ранее найденные точки пересечения с осями координат и точку экстремума.

График функции будет иметь форму параболы с ветвями, направленными вниз. Он будет проходить через точки (-2, 0), (1, 0) и (1/2, 1.75), и вершина параболы будет находиться в точке (1/2, 1.75).

(График функции не может быть точно нарисован здесь, так как ограничены только текстом. Рекомендую использовать математические программы или графические инструменты, чтобы построить график функции y = -x^2 - x + 2.)