Question

Вектори а і b утворюють кут 60 градусів, причому |a|=5, |b|=8. Обчисліть |a-b|

Answer 1

Модуль разности двух векторов найдем как корень квадратный из квадрата разности двух векторов, для чего сначала найдем квадрат разности векторов а и в. получим (а-в)²=а²-2а*в+в².

Сразу оговорюсь, у Вас и у меня над а и в везде должна в записи стоять либо черта, либо стрелка, ведь а и в векторы, скалярный квадрат вектора а равен 5²=25, скалярный квадрат вектора в равен 8²=64, скалярное произведение векторов а*в =модулю вектора а умноженному  на модуль вектора в, умноженному на косинус угла между векторами, т.е. на косинус 60 градусов, т.е. на 1/2, а, значит, 2*а*в=2*5*8*(1/2)=40. Окончательно имеем модуль искомой разности а и в равен √(25+64-40)=√49=7.

Ответ. 7

Answer 2

Для обчислення довжини вектору різниці a-b, можемо скористатись властивостями векторів та тригонометрії. Зокрема, нам знадобиться тригонометричний трикутник, що утворюється векторами a, b та їх різницею (a-b).

Відомо, що кут між векторами a і b дорівнює 60 градусів. Тоді кут між векторами a і -b (тобто між a та b, якщо b змінити на протилежний) буде 180 градусів (або π радіан). Таким чином, ми отримали трикутник із сторонами a (довжина 5) та -b (довжина -8), і кут між ними дорівнює 180 градусів.

Тепер, ми можемо використати закон косинусів для обчислення довжини сторони між a і -b (тобто a і b):

$|a - (-b)| = |a + b| = \sqrt{|a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|\cos(180^\circ)}$

Замінюючи дані, отримуємо:

$|a - b| = \sqrt{5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(180^\circ)}$

Значення косинуса 180 градусів дорівнює -1:

$|a - b| = \sqrt{5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot (-1)}$ $|a - b| = \sqrt{25 + 64 + 80}$ $|a - b| = \sqrt{169}$ $|a - b| = 13$

Отже, довжина вектору різниці a і b дорівнює 13 одиницям.