Question

Длина высоты правильной треугольной пирамиды SABC ( S - вершина) в 5/sqrt(6) раз больше длины ребра основания. Точка D –середина апофемы грани ASC. Найти угол между прямой BD и плоскостью, проходящей через ребро SC и середину ребра AB.

Answer 1

Эту задачу можно решить двумя способами: векторным и геометрическим.

1) Примем длину ребра основания пирамиды  равной 2.

Поместим пирамиду вершиной В в начало, стороной ВА по оси Оу.

Определяем координаты точек B и D для вектора  BD и точек S, C и К для плоскости, проходящей через ребро SC и середину ребра AB. Здесь точка К - середина ребра АВ.  

В(0; 0; 0).  Координаты точки D. Основание апофемы через точку D - пусть это точка М. ВМ - это высота основания h = a√3/2 = 2√3/2 = √3.

Точка D проецируется на основание (D1) как середина ОМ = (1/3)h.

Отрезок ВD1 = (2/3)h+ ((1/3)h/2) = 5h/6 = 5√3/6.

Раскладываем BD1 по осям:

Оx = (5√3/6)*cos 60° = (5√3/6)*(1/2) = 5√3/12,

Оy = (5√3/6)*cos 30° = (5√3/6)*(√3/2) = 5/4 = 1,25.

Высота пирамиды Н(S) = 2*(5/√6) = 10/√6.

Высота точки D равна половине, то есть 5/√6.

Точка D(5√3/12; 1,25; 5/√6). Это же значение вектора BD.

Точка С(√3; 1; 0). Точка S(√3/3; 1; 10/√6). Точка К(0; 1; 0).

Плоскость SCK параллельна плоскости xOz, её уравнение по трём точкам: 0x - 7,071067812y + 0z + 7,071067812 = 0.

Направляющий вектор прямой имеет вид:  s = {l; m; n}  

Вектор нормали плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет вид n (A; B; C).

Скалярное произведение  n x s = -8,838834765.

Модуль вектора BD = s = √(0,721687836² + 1,25² + 2,041241452²) = 2,5.

Модуль вектора n = 7,071067812.

Синус искомого угла равен:

sin φ = abs(n x s)/(|s|*|n|) = 0,5.

Угол равен 30 градусов.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберемся поэтапно.

Пусть сторона основания треугольной пирамиды ABC равна a, тогда длина высоты SABC (высота, исходящая из вершины S) равна 5a/√6.

1. Найдем длину ребра апофемы грани ASC: Пусть сторона треугольника ASC равна b, тогда апофема грани ASC (AD) будет равна b/2.

2. Найдем длину ребра AB: Так как треугольник SAB правильный и высота равна 5a/√6, то длина ребра AB будет равна 2 * (5a/√6) = (10a/√6).

3. Найдем середину ребра AB (пусть это будет точка M).

4. Теперь найдем длину ребра SC: Из свойств правильной треугольной пирамиды, длина ребра SC также равна a.

5. Найдем угол между прямой BD и плоскостью, проходящей через ребро SC и середину ребра AB: Для этого воспользуемся тем, что угол между прямой и плоскостью равен прямому углу между векторами, перпендикулярными этой прямой и лежащими в этой плоскости. Найдем такой вектор.

6. Вектор, лежащий в плоскости SC и AB, можно получить как их векторное произведение: v = SC x AB

7. Затем найдем вектор, перпендикулярный плоскости SC и AB (прямой BD): v_perpendicular = v x SM, где SM - вектор, соединяющий середину SC и середину AB.

8. Найдем угол между векторами v и v_perpendicular: cos(θ) = (v * v_perpendicular) / (|v| * |v_perpendicular|)

Таким образом, чтобы найти угол между прямой BD и плоскостью, проходящей через ребро SC и середину ребра AB, нам нужно вычислить векторы v и v_perpendicular, а затем найти угол между ними.