Question

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудаленную от точек C и D. Пусть K середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

Answer 1

Пусть N – точка пересечения прямых DK и BC (рис. в центре). Треугольники KAD и KBN равны по второму признаку. Отсюда NB = BC, и BM является серединным перпендикуляром к отрезку CN. Значит, точка M равноудалена от точек N, C и D, то есть является центром описанной окружности треугольника NCD. Поэтому MK ⊥ ND.

Answer 2

Для доказательства того, что угол MKD прямой, мы будем использовать свойства параллелограмма и равноудаленных точек от двух других точек.

Обозначим точку пересечения BH и AC за P. Так как ABCD - параллелограмм, то угол ABC равен углу ADC (они смежные углы), и угол BAC равен углу DCA (они также смежные углы). Из этого следует, что треугольники ABC и ADC равны по двум углам и общей стороне AC (по двум углам и стороне). Следовательно, они подобны.

Так как M - точка на перпендикуляре BH, равноудаленная от точек C и D, то BM=MC=MD. Также, у нас есть, что KC=KB (K - середина AB в параллелограмме).

Теперь докажем, что угол MKD прямой:

1. Треугольник MCD - равнобедренный, так как MC=MD (равные стороны), и угол MDC равен углу MCD (по свойству равнобедренного треугольника).

2. Треугольник KBC - равнобедренный, так как KC=KB (равные стороны), и угол KCB равен углу KBC (по свойству равнобедренного треугольника).

3. Теперь сравним углы MCD и KBC:

   • Угол MCD = угол BCA (по равенству углов в подобных треугольниках ABC и ADC).
   • Угол KBC = угол ABC (по равенству углов в равнобедренном треугольнике KBC).

Из последних двух равенств следует, что угол MCD равен углу ABC.

4. Теперь рассмотрим треугольник KMD:
   • Угол KMD = угол KMB + угол BMD (по свойству треугольника).
   • Угол KMB = 180° - угол KBC (сумма углов треугольника KMB).
   • Угол BMD = угол MCD (по свойству равенства углов в параллельных линиях).

Теперь подставим найденные значения:

• Угол KMD = (180° - угол KBC) + угол MCD = угол ABC + угол MCD.

5. У нас уже известно, что угол ABC равен углу MCD, так как треугольники ABC и ADC подобны. Таким образом, угол KMD = 2 * угол MCD.

Теперь мы видим, что угол KMD равен удвоенному углу MCD. Но так как угол MCD равен углу MKD (так как MCD и MKD - равнобедренные треугольники с основанием MD), то получаем, что угол KMD равен углу MKD.

Таким образом, угол MKD также равен углу ABC. Но угол ABC - это дополнительный угол к углу BCD, так как ABCD - параллелограмм. Следовательно, угол MKD является дополнительным углом к углу BCD.

Если сумма двух углов равна 180°, а один из них дополнительный к другому, то эти углы образуют прямой угол. Поэтому угол MKD является прямым углом, что и требовалось доказать.