Question

Срочно много баллов плоскость, перпендикулярная радиусу, делит его на части в отношении 3:2, считая от центра шара. Площадь сечения равна 144П. Найдите объем меньшего из образовавшихся шаровых сегментов.

Answer 1

.....................................................

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей. Предположим, что у нас есть сфера с центром O и радиусом R. На этой сфере мы можем провести плоскость, которая перпендикулярна радиусу и делит его на две части в отношении 3:2.

Обозначим точку пересечения плоскости с сферой за A, а точку, которая делит радиус в отношении 3:2, за M. Таким образом, расстояние от центра шара до точки M (MO) будет составлять (2/5)R, а до точки A (AO) - (3/5)R.

Так как площадь сечения сферы плоскостью равна 144π, мы можем использовать формулу площади сферического сегмента:

Площадь сечения = πr^2, где r - радиус сечения сферы плоскостью.

Так как у нас есть плоскость, делит радиус на две части в отношении 3:2, радиус сечения сферы r будет составлять (3/5)R.

Теперь, чтобы найти объем меньшего из образовавшихся шаровых сегментов, мы должны найти высоту сферического сегмента, которую обозначим за h.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике MOA (где M - средняя точка радиуса, O - центр шара, A - точка пересечения с плоскостью) прямоугольник MOA - прямоугольный, так как AM делит радиус в отношении 3:2. Таким образом, применим теорему Пифагора:

MO^2 + OA^2 = MA^2.

(2/5 R)^2 + (3/5 R)^2 = MA^2.

4/25 R^2 + 9/25 R^2 = MA^2.

13/25 R^2 = MA^2.

Теперь найдем высоту сферического сегмента h через рассматриваемый треугольник AHC, где H - центр сферы, C - середина отрезка AO.

Так как прямоугольник AHC - прямоугольный, то применим теорему Пифагора:

AH^2 + HC^2 = AC^2.

(3/5 R)^2 + h^2 = R^2.

9/25 R^2 + h^2 = R^2.

h^2 = R^2 - 9/25 R^2.

h^2 = 16/25 R^2.

h = √(16/25) R.

h = (4/5) R.

Теперь мы можем найти объем сферического сегмента через формулу:

V = (1/3) π h^2 (3R - h).

V = (1/3) π [(4/5)R]^2 (3R - (4/5)R).

V = (1/3) π (16/25 R^2) (15/5 R).

V = (1/3) π (16/5 R^3).

V = (16/15) π R^3.

Таким образом, объем меньшего из образовавшихся шаровых сегментов равен (16/15) π R^3.