Question

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а основание 4. Чему равен радиус окружности, проходящей через вершину, середину боковой стороны и середину основания треугольника?

Answer 1

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 10, АС = 4.

Если провести отрезки через вершину, середину боковой стороны и середину основания треугольника, то получим равнобедренный треугольник ВДЕ с двумя сторонами ВЕ и ДЕ по 5 и третьей ВД, равной высоте Н исходного треугольника.

Находим Н = √(10² - (4/2)²) = √(100 - 4) = √96 = 4√6.

Высота треугольника ВДЕ из точки Е на ВД равна (4/2)/2 = 1.

Площадь ВДЕ = (1/2)*1*(4√6) = 2√6 кв.ед.

Отсюда получаем ответ, использовав формулу:

R = (abc)/(4S) = (5*5*4√6)/(4*2√6) = 25/2 = 12,5 ед.

Answer 2

Для нахождения радиуса окружности, проходящей через вершину, середину боковой стороны и середину основания равнобедренного треугольника, воспользуемся свойствами такой окружности.

1. Радиус такой окружности проходит через вершину треугольника, середину боковой стороны и центр основания. Обозначим центр основания как точку "O" и соединим его с вершиной треугольника "A".

2. Так как треугольник равнобедренный, у него есть биссектриса, которая делит основание на две равные части и пересекается с вершиной под прямым углом. Обозначим точку пересечения биссектрисы с основанием как "M". Также обозначим точку пересечения биссектрисы с противоположной стороной (то есть с боковой стороной) как "N".

3. По условию задачи, длина боковой стороны равна 10, а длина основания равна 4. Так как треугольник равнобедренный, его биссектриса будет также являться медианой и перпендикулярной к основанию, поэтому "MN" - это половина основания треугольника, то есть "MN" = 4 / 2 = 2.

4. Также по свойствам равнобедренного треугольника "AN" = "AM" = 10 / 2 = 5.

5. Теперь посмотрим на треугольник "AMO". Это прямоугольный треугольник, в котором "AO" - это радиус окружности, которую мы ищем, "AM" = 5 и "OM" = 2.

6. Используем теорему Пифагора: "AO^2 = AM^2 + OM^2".

7. Подставим известные значения: "AO^2 = 5^2 + 2^2".

8. Вычислим: "AO^2 = 25 + 4 = 29".

9. Теперь найдем радиус "AO": "AO = √29" (квадратный корень из 29).

Таким образом, радиус окружности, проходящей через вершину, середину боковой стороны и середину основания равнобедренного треугольника, составляет "AO = √29", что приближенно равно "AO ≈ 5.39".