Question

Докажите что четырехугольник ABCD является прямоугольником если A(2;2)B(3;-1)C(-3;-3)D(-4;0)

Answer 1

Так как если мы соединим точки на координатной плоскости 2 пары сторон будут равны

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно проверить, удовлетворяет ли он условиям прямоугольника. Прямоугольник имеет следующие характеристики:

1. Все углы прямые (равны 90 градусам).
2. Противоположные стороны равны.

Давайте проверим выполнение этих условий для четырехугольника ABCD:

1. Проверка углов: Мы можем вычислить углы между сторонами с помощью векторных произведений. Если углы окажутся близкими к 90 градусам, это подтвердит прямоугольность.

2. Проверка сторон: Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA с помощью формулы расстояния между двумя точками.

Для вычисления длины стороны между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2), используется формула:

$\text{Длина стороны} = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}$

Теперь выполним вычисления:

1. Вычисление углов:

Сначала найдем векторы AB и BC:

$\vec{AB} = \langle 3-2, -1-2 \rangle = \langle 1, -3 \rangle$ $\vec{BC} = \langle -3-3, -3-(-1) \rangle = \langle -6, -2 \rangle$

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и BC:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (1) \cdot (-6) + (-3) \cdot (-2) = -6 + 6 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, угол между векторами AB и BC равен 90 градусам. Это означает, что угол ABC - прямой угол.

Теперь найдем векторы BC и CD:

$\vec{CD} = \langle -4-(-3), 0-(-3) \rangle = \langle -1, 3 \rangle$

Теперь найдем скалярное произведение векторов BC и CD:

$\vec{BC} \cdot \vec{CD} = (-6) \cdot (-1) + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, угол между векторами BC и CD равен 90 градусам. Это означает, что угол BCD - прямой угол.

Теперь проверим противоположные стороны:

2. Проверка сторон:

$AB = \sqrt{(3-2)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ $BC = \sqrt{(-3-3)^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ $CD = \sqrt{(-4-(-3))^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ $DA = \sqrt{(2-(-4))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Мы видим, что AB = CD и BC = DA.

Таким образом, все углы прямые, и противоположные стороны равны. Это доказывает, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.