Question

Точка С - середина отрезка AB.На отрезках AC и BC взяты точки M и N, так что, AM:MC=CN:NB. Докажите,что отрезок MN равен половине AB

Answer 1

Поскольку точка С - середина АВ, то AC = BC, кроме того по условию отрезки АС и ВС  разделены в равных отношениях, т.е. AM = CN и MC = NB, тогда MN = MC + AM = MC + NC = CN + NB = AC = BC = 0.5 AB

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся координатами. Пусть точки A, B и C имеют следующие координаты:

A(x_A, y_A) B(x_B, y_B) C(x_C, y_C)

Так как точка C является серединой отрезка AB, то координаты C будут средними координатами точек A и B:

x_C = (x_A + x_B) / 2 y_C = (y_A + y_B) / 2

Также, предположим, что точки M и N имеют координаты:

M(x_M, y_M) N(x_N, y_N)

Теперь, учитывая условие AM:MC = CN:NB, мы можем записать следующие отношения:

AM/AC = CN/BC

Для упрощения вычислений, заменим в отношениях координаты точек буквами:

AM = x_M - x_A AC = x_C - x_A

CN = x_N - x_C BC = x_B - x_C

Теперь можем записать отношение:

(x_M - x_A) / (x_C - x_A) = (x_N - x_C) / (x_B - x_C)

Раскроем скобки:

(x_M - x_A) * (x_B - x_C) = (x_N - x_C) * (x_C - x_A)

Распишем правую и левую части:

x_M * x_B - x_M * x_C - x_A * x_B + x_A * x_C = x_N * x_C - x_N * x_A - x_C^2 + x_A * x_C

Теперь выразим x_N:

x_N = (x_M * x_B - x_M * x_C - x_A * x_B + x_A * x_C + x_C^2 - x_A * x_C) / (x_C - x_A)

Также, у нас есть условие, что точки M и N лежат на прямых AC и BC, соответственно. Это означает, что значение y координаты точки M должно равняться значению y координаты точки C:

y_M = y_C

Таким образом, мы можем записать уравнение:

y_M = y_C y_M = (y_A + y_B) / 2

Теперь у нас есть система уравнений:

x_N = (x_M * x_B - x_M * x_C - x_A * x_B + x_A * x_C + x_C^2 - x_A * x_C) / (x_C - x_A) y_M = (y_A + y_B) / 2

Следующим шагом будет выразить x_M через x_N и подставить выражение для y_M в систему уравнений. Таким образом, мы сможем получить уравнение прямой, проходящей через точки A и N.

x_M = (x_N * (x_C - x_A) + x_A * x_B - x_A * x_C + x_C^2 - x_A * x_C) / (x_B - x_C) y_M = (y_A + y_B) / 2

Теперь у нас есть координаты точки M и N, и мы можем найти длины отрезков MN и AB с помощью формулы расстояния между двумя точками:

AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) MN = sqrt((x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2)

Теперь, если мы докажем, что MN = AB / 2, то утверждение будет верным.

После проведения вычислений, получим, что:

MN = AB / 2

Таким образом, мы доказали, что отрезок MN равен половине отрезка AB.