Question

Докажите, что вершины параллелограмма АВСD лежат в одной плоскость.

Answer 1

Три точки, не лежащие на одной прямой всегда лежат в одной плоскости, т.к. через три точки, не лежащие на одной прямой проходит одна и только одна плоскость, а четвертая вершина лежит на одной прямой с любой из оставшихся вершин, а если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся  прямая ей принадлежит. Поэтому все четыре вершины  лежат в одной плоскости. Значит, требуемое доказано.

Answer 2

Чтобы доказать, что вершины параллелограмма ABCD лежат в одной плоскости, мы можем использовать два метода: векторный и аналитический.

1. Доказательство с использованием векторов: Параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны, которые параллельны друг другу. Обозначим векторы AB, BC, CD и DA как векторы a, b, c и d соответственно. Параллелограмм также имеет следующие свойства:

• Векторы, соединяющие противоположные вершины параллелограмма, равны по длине и параллельны друг другу. То есть, AB = CD и BC = AD.
• Векторная сумма замкнутого контура параллелограмма равна нулевому вектору. То есть, a + b + c + d = 0.
• Векторы, лежащие в одной плоскости, могут быть представлены как линейная комбинация двух линейно независимых векторов. То есть, векторы a, b, c и d лежат в одной плоскости, если существуют векторы u и v такие, что каждый из a, b, c и d может быть представлен как линейная комбинация u и v.

Теперь докажем, что векторы a, b, c и d могут быть представлены как линейная комбинация двух линейно независимых векторов. Рассмотрим следующие комбинации:

• a + b = AB + BC = AC
• b + c = BC + CD = BD
• c + d = CD + DA = CA
• d + a = DA + AB = DB

Мы видим, что все эти комбинации представляют собой векторы, соединяющие соседние вершины параллелограмма. Таким образом, векторы AC, BD, CA и DB лежат в одной плоскости, что означает, что вершины A, B, C и D лежат в одной плоскости.

2. Доказательство с использованием аналитической геометрии: Мы можем представить координаты вершин A, B, C и D в трехмерном пространстве, где каждая вершина имеет координаты (x, y, z). Параллелограмм ABCD лежит в одной плоскости, если его вершины удовлетворяют уравнению плоскости. Предположим, что вершина A имеет координаты (x1, y1, z1), вершина B - (x2, y2, z2), вершина C - (x3, y3, z3) и вершина D - (x4, y4, z4). Векторы AB, AC и AD, задаваемые соответственно как (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) и (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1), лежат в одной плоскости, если их смешанное произведение равно нулю: [(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) × (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)] · (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1) = 0.

Если это равенство выполняется для всех комбинаций вершин (A, B, C, D), то вершины лежат в одной плоскости.

Оба метода подтверждают, что вершины параллелограмма ABCD лежат в одной плоскости.