Question

В параллелограмме ABCD точка E - середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите , что данный параллелограмм - прямоугольник

Answer 1

Ответ:

Что и требовалось доказать!

Объяснение:

Так как $EC = ED \Rightarrow \triangle DEC$ - равнобедренный ⇒ $\angle EDC = \angle ECD.$

В параллелограмме противоположные стороны параллельны.

$\Rightarrow AB || CD \Rightarrow AE || CD \: \: u \:\: EB || CD.$

При пересечении двух параллельных секущей, накрест лежащие углы равны.

$\Rightarrow \angle EDC = \angle AED, \:\: \angle ECD = \angle BEC.$

Но так как $\angle EDC = \angle ECD$, по свойству ⇒

$\angle ECD = \angle EDC = \angle AED = \angle BEC.$

Так как $E$ - середина $AB$ ⇒ $AE = EB.$

$CE = ED,$ по условию.

⇒ $\triangle AED = \triangle BEC,$ по 1 признаку равенства треугольников.

⇒ $\angle EAD = \angle EBC.$

В параллелограмме сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.

Т.к. $\angle EAD = \angle EBC \Rightarrow \angle EAD = \angle EBC = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$.

В параллелограмме сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.

⇒ $\angle ADC= 180^{\circ} - \angle ADE = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

⇒ $\angle BCD = 180^{\circ} - \angle EBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

Параллелограмм, у которого все углы прямые - прямоугольник.

Answer 2

Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что его углы прямые.

Из условия известно, что точка E является серединой стороны AB, а EC = ED. Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD как точку F.

Так как E является серединой стороны AB, то AE = EB.

Рассмотрим треугольники AEF и BEF. В них у нас есть следующие равенства:

1. AE = EB (по условию)
2. EC = ED (по условию)
3. AF = BF (диагонали параллелограмма делятся пополам)

Теперь посмотрим на эти треугольники. Они имеют две равные стороны (AE = EB и EC = ED) и общую сторону EF. Таким образом, треугольники AEF и BEF являются равнобедренными.

Так как треугольники AEF и BEF равнобедренные, то у них основания (отрезки AF и BF) равны. Следовательно, точка F также является серединой стороны CD.

Так как точка F является серединой стороны CD, то CF = FD.

Теперь мы можем рассмотреть треугольники CDF и CEF. В них у нас есть следующие равенства:

1. CF = FD (по предыдущему утверждению)
2. EC = ED (по условию)
3. EF = EF (общая сторона)

Таким образом, треугольники CDF и CEF имеют три равные стороны и, следовательно, они равносторонние.

Если треугольники CDF и CEF являются равносторонними, то их углы при основании CD также равны. То есть углы CFD и CFE равны.

Теперь рассмотрим параллельные стороны AB и CD. Они соответственно соответствуют углам CFE и CFD.

У нас есть следующие равные углы:

1. Угол CFE = угол CFD (из равносторонности треугольников CDF и CEF)
2. Угол CFE = угол B (параллельность AB и CD)
3. Угол CFD = угол A (параллельность AB и CD)

Из этих равенств следует, что угол A = угол B. Таким образом, углы параллелограмма ABCD прямые.

Следовательно, параллелограмм ABCD является прямоугольником.