Question

1.Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(14;4), B(18;8), C(14;12) и D(10;8). SABCD= 2.Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника. Определи длины сторон треугольника и укажи вид этого треугольника. A(3;0), B(0;-4) и C(6;-4). AB = BC = AC = Треугольник ABC разносторонний равносторонний равнобедренный 3.Рассчитай расстояние между точками с данными координатами. 1. A(8;-1) и B(5;-5); |AB| = 2. M(-5;5) и N(-1;8); |MN| =

Answer 1

Ответ:

Решение в объяснении

Объяснение:

1. Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(14;4), B(18;8), C(14;12) и D(10;8).

АВ{4;4}, BC{-4;4}, CD{-4;-4}, AD{}-4;4}.

Модули (длины векторов):

|АВ| = √32, |BC| = √32, |CD| = √32,  |AD| = √32.

Все стороны четырехугольника равны => это ромб или квадрат.

Скалярное произведение векторов АВ и ВС:

(AB·BC) = Xab·Xbc + Yab·Ybc = -16 +16 =0  =>

угол между векторами 90°  => четырехугольник ABCD квадрат.

Sabcd = AB·BC = 32 ед².

2.Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника. Определи длины сторон треугольника и укажи вид этого треугольника.

A(3;0), B(0;-4) и C(6;-4).

AB = |AB| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²) = √(9+16) = 5 ед.

BC = |BC| =  √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²) = √(36+64) = 10 ед.

AC = |AC| =  √((Xc-Xa)²+(Yc-Ya)²) = √(9+16) = 5 ед.

Треугольник АВС - мог бы быть равнобедренным, но он - вырожденный, то есть не существует, так как большая сторона РАВНА сумме двух других сторон, что противоречит теореме о неравенстве треугольника.

3. Рассчитай расстояние между точками с данными координатами.

1. A(8;-1) и B(5;-5); |AB| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²) = √(9+16) = 5 ед.

2. M(-5;5) и N(-1;8); |MN| = √((Xn-Xm)²+(Yn-Ym)²) = √(16+9) = 5 ед.

Answer 2

1. Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нужно проверить, что его стороны AB, BC, CD и AD образуют прямые углы (перпендикулярны друг другу). Мы также можем найти длины его сторон, чтобы убедиться, что противоположные стороны равны.

Длины сторон: AB = √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2] AB = √[(18 - 14)^2 + (8 - 4)^2] = √[4^2 + 4^2] = √32 ≈ 5.66

BC = √[(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2] BC = √[(14 - 18)^2 + (12 - 8)^2] = √[(-4)^2 + 4^2] = √32 ≈ 5.66

CD = √[(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2] CD = √[(10 - 14)^2 + (8 - 12)^2] = √[(-4)^2 + (-4)^2] = √32 ≈ 5.66

AD = √[(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2] AD = √[(10 - 14)^2 + (8 - 4)^2] = √[(-4)^2 + 4^2] = √32 ≈ 5.66

Мы видим, что AB = BC = CD = AD = √32.

Теперь проверим, образуют ли стороны прямые углы:

AB * BC = √32 * √32 = 32 BC * CD = √32 * √32 = 32 CD * AD = √32 * √32 = 32 AD * AB = √32 * √32 = 32

Если стороны образуют прямые углы, произведение длин противоположных сторон будет одинаковым. Здесь мы видим, что AB * BC = BC * CD = CD * AD = AD * AB, что доказывает, что четырёхугольник ABCD - прямоугольник.

Площадь прямоугольника SABCD равна произведению длин его двух сторон, которые образуют прямой угол:

SABCD = AB * BC = √32 * √32 = 32.

Ответ:

1. Четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Площадь SABCD = 32.

2. Для определения видов треугольника ABC, найдем длины его сторон:

AB = √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2] AB = √[(0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2] = √[(-3)^2 + (-4)^2] = √(9 + 16) = √25 = 5

BC = √[(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2] BC = √[(6 - 0)^2 + (-4 - (-4))^2] = √[6^2 + 0^2] = √36 = 6

AC = √[(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2] AC = √[(6 - 3)^2 + (-4 - 0)^2] = √[3^2 + (-4)^2] = √(9 + 16) = √25 = 5

Теперь посмотрим на длины сторон:

AB = 5, BC = 6, AC = 5.

Так как все три стороны различны, то треугольник ABC является разносторонним треугольником.

Ответ: 2. Треугольник ABC является разносторонним треугольником.

3. Для расчета расстояния между точками с данными координатами, используем формулу для расстояния между двумя точками в двумерной системе координат:

Для точек A(8;-1) и B(5;-5):

|AB| = √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2] |AB| = √[(5 - 8)^2 + (-5 - (-1))^2] = √[(-3)^2 + (-4)^2] = √(9 + 16) = √25 = 5

Для точек M(-5;5) и N(-1;8):

|MN| = √[(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2] |MN| = √[(-1 - (-5))^2 + (8 - 5)^2] = √[4^2 + 3^2] = √(16 + 9) = √25 = 5

Ответ: 3. |AB| = 5 и |MN| = 5.