Question

В треугольнике ABC известны длины двух сторон AB=9, BC=17. Расстояние между серединами этих сторон равно 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение:

Расстояние между серединами сторон равно половине третьей стороны. Значит АС = 10см.

Полупериметр этого треугольника равен (10+17+9)/2 = 18.

Квадрат радиуса вписанной окружности равен (18-17)(18-9)(18-10)/18 = 1*9*8/18 = 4

Значит радиус равен 2

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в треугольник:

$r = \frac{{2S}}{{a + b + c}},$

где $r$ - радиус вписанной окружности, $S$ - площадь треугольника, $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника.

Для начала найдём площадь треугольника ABC. Используем формулу Герона:

$S = \sqrt{{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}},$

где $p$ - полупериметр треугольника, определяемый как $p = \frac{{a + b + c}}{2}$.

В нашем случае:

$p = \frac{{9 + 17 + c}}{2} = \frac{{26 + c}}{2} = 13 + \frac{{c}}{2}.$

Затем подставим полученное значение полупериметра $p$ в формулу для площади:

$S = \sqrt{{\left(13 + \frac{{c}}{2}\right) \cdot \left(13 + \frac{{c}}{2} - 9\right) \cdot \left(13 + \frac{{c}}{2} - 17\right) \cdot \left(13 + \frac{{c}}{2} - c\right)}}.$

Так как расстояние между серединами сторон AB и BC равно 5, это также является высотой треугольника, проходящей через вершину C. Таким образом, площадь треугольника ABC равна половине произведения длины основания и соответствующей высоты:

$S = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 5 = \frac{85}{2}.$

Теперь подставим полученное значение площади $S$ в формулу для радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{{2 \cdot \frac{85}{2}}}{{9 + 17 + c}} = \frac{{85}}{{26 + c}}.$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $\frac{{85}}{{26 + c}}$.