Question

Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC = CD. Лучи AB и DC перескаются в точке K. Известно, что ∠BKC = α. Найдите угол между диагоналями AC и BD.

Answer 1

Решение : ////////////////////////////////

Answer 2

Обозначим угол между диагоналями AC и BD как β.

Поскольку ABCD - выпуклый четырехугольник, сумма углов внутри него равна 360 градусам. Разбивая этот четырехугольник на два треугольника, мы можем записать следующее уравнение:

∠BAC + ∠ACB + ∠BCD + ∠CDA = 360 градусов

Учитывая, что AB = BC = CD, имеем:

∠BAC + ∠ACB + ∠BCD + ∠CDA = ∠BAC + ∠ACB + ∠ACB + ∠CDA = 360 градусов

Поскольку ∠BKC = α, мы можем переписать уравнение в виде:

∠BAC + α + ∠CDA = 360 градусов

Теперь обратимся к треугольнику BKC. Сумма углов внутри него также равна 180 градусам, поэтому:

∠BKC + ∠BCK + ∠KCB = 180 градусов

Заметим, что ∠BCK = ∠BAC и ∠KCB = ∠CDA. Подставляя это в уравнение, получим:

α + ∠BAC + ∠CDA = 180 градусов

Из двух полученных уравнений мы можем выразить ∠BAC + ∠CDA в виде:

∠BAC + ∠CDA = 180 градусов - α

Теперь заметим, что ∠BAC + ∠CDA и β образуют пару смежных углов, образованных диагоналями AC и BD, а сумма смежных углов равна 180 градусам. Таким образом, мы можем записать:

∠BAC + ∠CDA = 180 градусов - β

Из двух полученных уравнений мы можем приравнять выражения для ∠BAC + ∠CDA:

180 градусов - α = 180 градусов - β

Отсюда следует:

α = β

Таким образом, угол между диагоналями AC и BD равен α.