Question

Из вершины прямоугольного равнобедренного треугольника АВС (С=90), проведен перпендикуляр ВР к его плоскости. Найдите расстояние от точки Р до плоскости треугольника и до точки С, если катет АС=6 см, РА=10 см

Answer 1

Ответ:

8 и 2 корня из 7

Объяснение:

1. По теореме о трех перпендикулярах, для прямой АС, лежащей на плоскости, наклонной РС и перпендикуляра РВ, получаем АС перпендикулярно РС. Значит, треугольник АРС - прямоугольный (Угол АСР=90).  Следовательно, зная АС=6 и АР=10, по теореме Пифагора

катет РС квадрат=100-36. РС=8 см.

2. Треугольник СВР- прямоугольный по условию, так как РВ перпендикулярно ВС. Знаем РС=8 и ВС=6 - так как АВС- равнобедренный и АС=ВС. Снова по теореме Пифагора РВ квадрат= 64-36=28   РВ= 2 корня из 7.

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки Р до плоскости треугольника и до точки С, нам понадобятся некоторые геометрические свойства и теоремы.

1. Найдем координаты вершины В. Так как треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный, то точка В будет находиться на середине гипотенузы АС. Так как катет АС равен 6 см, то точка В будет находиться на расстоянии 3 см от точки А (так как АВ = ВС = 3 см).

2. Теперь найдем координаты точки Р. Так как РА = 10 см, то точка Р будет находиться на 10 см от точки А вдоль перпендикуляра ВР.

3. Найдем расстояние от точки Р до точки С. Для этого найдем длину гипотенузы треугольника АРС. Зная расстояние от точки Р до точки А (10 см) и длину катета АС (6 см), можно воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы АР.

Теперь давайте выполним эти шаги подробнее:

1. Найдем координаты точек В и Р: Так как АВ = ВС = 3 см, то координаты точки В будут (0, 0, 3) (пусть ось z направлена вверх, а плоскость XY - плоскость треугольника АВС). Координаты точки А уже известны и равны (0, 0, 0). Так как РА = 10 см, то координаты точки Р будут (0, 0, -10).

2. Найдем расстояние от точки Р до плоскости треугольника АВС: Поскольку точка В лежит на плоскости треугольника, то вектор нормали к этой плоскости равен (0, 0, 1) (так как плоскость XY параллельна плоскости треугольника, и вектор нормали к плоскости XY равен (0, 0, 1)). Теперь найдем вектор из точки Р до точки В: (0, 0, 3) - (0, 0, -10) = (0, 0, 13). Теперь найдем расстояние от точки Р до плоскости треугольника, используя формулу:

d = |(РВ * n)| / |n|

где РВ - вектор из точки Р до точки В, n - вектор нормали к плоскости треугольника.

d = |(0, 0, 13) * (0, 0, 1)| / |(0, 0, 1)| = |(0, 0, 13)| / |(0, 0, 1)| = 13 / 1 = 13 см.

Таким образом, расстояние от точки Р до плоскости треугольника составляет 13 см.

3. Найдем расстояние от точки Р до точки С: Теперь найдем длину гипотенузы АРС. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

АР² = АС² + РС²

РС² = АР² - АС² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

РС = √(64) = 8 см.

Таким образом, расстояние от точки Р до точки С составляет 8 см.