Question

Основанием прямоугольногопараллелепипеда служит квадрат, диагональравна 3 корня из 3 см, а его измерения относятся как1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б)синус угла между диагональю параллелепипеда иплоскостью его основания.​

Answer 1

ABCLA1B1C1D1 - прям.паралл. ,

АВСD - квадрат , АВ=ВС=а , АА1=b , АС1=с $=3\sqrt3$ .

$a:a:b=1:1:2\; \; \to \; \; \; b=2a$

$a)\; \; AC^2=a^2+a^2=2a^2\; ,\; \; AC=a\sqrt2\\\\AC_1^2=a^2+a^2+b^2=2a^2+(2a)^2=6a^2\; ,\; \; AC_1=a\sqrt6\\\\a\sqrt6=3\sqrt3\; \; \to \; \; a=\frac{3\sqrt3}{\sqrt6}=\frac{3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}\; ,\; \; \underline {a=\frac{3\sqrt2}{2}}\; ,\\\\\underline {b=2a=3\sqrt2}\\\\b)\; \; sin\angle C_1AC=\frac{CC_1}{AC_1}=\frac{2a}{a\sqrt6}=\frac{2}{\sqrt6}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\underline {\frac{\sqrt6}{3}\approx 0,816}$

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда как a, b и c, где a и b - равные стороны основания, а c - высота параллелепипеда (его третье измерение).

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. Основание - квадрат, поэтому a = b.
2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 3 корня из 3 см, что соответствует длине диагонали квадрата основания (так как основание квадратное).

Для начала, найдем длину стороны квадрата основания (a или b) через длину его диагонали:

Длина диагонали квадрата = 3 корня из 3 см По теореме Пифагора для квадрата: a^2 + a^2 = (3 корня из 3)^2 2a^2 = 3^3 a^2 = 3^3 / 2 a = √(3^3 / 2) a = √(27 / 2) a = √(27) / √(2) a = 3√3 / √2 a = (3√3 / √2) * ( √2 / √2) (множим и делим на √2, чтобы убрать корень из знаменателя) a = 3√6 / 2

Таким образом, сторона a (или b) равна 3√6 / 2 см.

Теперь, чтобы найти размеры c, обратимся к условию, что измерения относятся как 1:1:2. То есть: a : b : c = 1 : 1 : 2 Так как a = b = 3√6 / 2, тогда: (3√6 / 2) : (3√6 / 2) : c = 1 : 1 : 2 c = 2 * (3√6 / 2) c = 3√6

Таким образом, размеры параллелепипеда равны: a = b = 3√6 / 2 см, c = 3√6 см.

Теперь перейдем ко второй части задачи, чтобы найти синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Пусть A и B - вершины квадрата основания, а C - противоположная вершина нашего параллелепипеда (точка, диагональ которой равна 3 корня из 3 см).

Мы знаем, что длина диагонали квадрата равна 3 корня из 3 см, и длина стороны квадрата (a или b) равна 3√6 / 2 см. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника ABC: AB^2 + AC^2 = BC^2

Где AB - сторона квадрата, равная 3√6 / 2 см, AC - сторона квадрата, равная 3 корня из 3 см (диагональ параллелепипеда), BC - искомая диагональ треугольника ABC, для которой нам нужно найти синус угла между этой диагональю и плоскостью основания.

Теперь подставим известные значения: (3√6 / 2)^2 + (3√3)^2 = BC^2 9 * (3/2) + 9 * 3 = BC^2 (27/2) + 27 = BC^2 (27 + 54)/2 = BC^2 81/2 = BC^2 BC = √(81/2) BC = √(81) / √(2) BC = 9 / √(2) BC = (9/√2) * (√2/√2) (множим и делим на √2, чтобы убрать корень из знаменателя) BC = (9√2) / 2

Таким образом, BC (или диагональ треугольника ABC) равна (9√2) / 2 см.

Далее, чтобы найти синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания, воспользуемся определением синуса угла между двумя векторами:

sin(θ) = (BC / AC)

где θ - искомый угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Подставим значения: sin(θ) = ((9√2) / 2) / (3√3)

Теперь упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на √3, чтобы избавиться от корней в знаменателе:

sin(θ) = (9√2 * √3) / (2 * 3) sin(θ) = (9√6) / 6 sin(θ) = (3√6) / 2

Таким образом, синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен (3√6) / 2.