Question

Чи є функція f(x)=|x+3| первісною функції f(x)=1?​

Answer 1

Ответ:нет

Объяснение:так как ответ будет -3

Answer 2

Так, функція $f(x) = |x+3|$ має первісну функцію $F(x) = \frac{1}{2} (x+3)|x+3|$. Перевіримо це, взявши похідну від $F(x)$:

$F'(x) = \frac{1}{2} \left( |x+3| + (x+3) \frac{d}{dx}|x+3| \right).$

Розділимо це на два випадки: $x+3 \geq 0$ та $x+3 < 0$.

1. $x+3 \geq 0$ (тоді $|x+3| = x+3$): $F'(x) = \frac{1}{2} (x+3 + (x+3) \cdot 1) = \frac{1}{2} (x+3 + x+3) = \frac{1}{2} \cdot 2(x+3) = x+3.$

2. $x+3 < 0$ (тоді $|x+3| = -(x+3)$): $F'(x) = \frac{1}{2} (-x-3 + (x+3) \cdot (-1)) = \frac{1}{2} (-x-3 -x-3) = \frac{1}{2} \cdot (-2x-6) = -x-3.$

Таким чином, $F'(x) = x+3$ для $x+3 \geq 0$ і $F'(x) = -x-3$ для $x+3 < 0$.

Але помітимо, що $F'(x) = x+3$ також для $x+3 < 0$, оскільки $x+3$ там негативне, і унарний мінус не змінює його знак. Таким чином, $F'(x) = x+3$ для всіх значень $x$.

Ми знаємо, що похідна від первісної функції дорівнює початковій функції, і оскільки $F'(x) = x+3$, то $F(x) = \int (x+3) dx = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C$, де $C$ - це довільна константа.

Тепер, якщо $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C$, то її похідна дорівнює $F'(x) = x + 3$, що збігається з $f(x)$. Отже, $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C$ - первісна функції $f(x) = |x+3|$, де $C$ - будь-яка константа.