Question

Вычислите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 20 см, если известно, что центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании.

Answer 1

Ответ:

64√15 см²

Объяснение:

Если вокруг трапеции можно описать окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

Пусть дана трапеция КМРТ, МР=12 см, КТ=20 см. КМ=РТ. Найти S(КМРТ).

МР+КТ=КМ+РТ=12+20=32 см

КМ=РТ=32:2=16 см

Проведем высоты МС и РН. ΔКМС=ΔТРН по катету и гипотенузе, значит, КС=ТН=(20-12):2=4 см.

Найдем РН по теореме Пифагора:

РН=√(РТ²-РН²)=√(256-16)=√240=4√15 см

S=(МР+КТ)/2*РН=(12+20)/2*4√15=64√15 см²

Answer 2

Для вычисления площади равнобедренной трапеции с основаниями a и b, если центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании, можно воспользоваться следующей формулой:

Площадь трапеции = (1/4) * (a + b) * sqrt((a - b)^2 + 4h^2),

где a и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции.

В данном случае, a = 12 см и b = 20 см (большее основание), и обе стороны равны из-за равнобедренности. Нам нужно найти высоту h, чтобы использовать формулу выше.

Мы знаем, что центр окружности описанной около трапеции находится на большем основании (20 см). В равнобедренной трапеции центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, и диагонали равны. Обозначим диагонали как d1 и d2, и пусть x - это половина длины диагонали, проходящей через центр окружности.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: один с катетами x и h (высота трапеции), и другой с катетами (20 - x) и h.

Используем теорему Пифагора для этих треугольников:

1. x^2 + h^2 = r^2, где r - радиус окружности (он же расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей).

2. (20 - x)^2 + h^2 = r^2.

Из уравнений выше мы можем выразить h^2 из первого уравнения:

h^2 = r^2 - x^2.

Теперь подставим это значение h^2 во второе уравнение:

(20 - x)^2 + (r^2 - x^2) = r^2.

Раскроем скобки и упростим:

400 - 40x + x^2 + r^2 - x^2 = r^2.

x^2 и -x^2 сократятся:

400 - 40x = 0.

Теперь выразим x:

40x = 400.

x = 400 / 40.

x = 10 см.

Теперь, когда мы знаем x, можем найти h, используя уравнение:

h^2 = r^2 - x^2,

h^2 = r^2 - 10^2,

h^2 = r^2 - 100.

Теперь возвращаемся к первому уравнению:

x^2 + h^2 = r^2,

10^2 + h^2 = r^2,

100 + h^2 = r^2.

Так как у нас есть два выражения для r^2 (из первого и последнего уравнений), приравняем их:

100 + h^2 = 400 - x^2,

100 + h^2 = 400 - 10^2,

100 + h^2 = 300.

Теперь выразим h^2:

h^2 = 300 - 100,

h^2 = 200.

Теперь, когда у нас есть высота h, мы можем вычислить площадь трапеции:

Площадь трапеции = (1/4) * (a + b) * sqrt((a - b)^2 + 4h^2),

Площадь трапеции = (1/4) * (12 + 20) * sqrt((12 - 20)^2 + 4 * 200),

Площадь трапеции = (1/4) * 32 * sqrt((-8)^2 + 800),

Площадь трапеции = 8 * sqrt(64 + 800),

Площадь трапеции = 8 * sqrt(864).

Площадь трапеции ≈ 93.58 кв. см (округлено до двух знаков после запятой).