Question

Трапеция ABCD вписана в окружность, причем eё основание AD является диаметром этой окружности, а хорда ВС стягивает дугу в 60°. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен R​

Answer 1

Ответ: 0,75R²√3

Объяснение:

Ад- диаметр ⇒АД=2R, ∪ВС=60° ⇒ВС- сторона правильного шестиугольника и ВС=R ⇒ΔВОС -равносторонний и ∠ОВС=∠ОСВ=60°.

ВС║АД ⇒∠ВОА=∠ОВС=60° и ∠СОД=∠ОСВ=60°.

ΔАОВ=ΔВОС=ΔСОД по 1 признаку равенства треугольников.

S АВСД= 3* S ΔВОС=3* (R²√3):4=3R²√3 :4=0,75R²√3.

Answer 2

Чтобы найти площадь трапеции ABCD, нам нужно знать её высоту и длины оснований. Зная, что основание AD является диаметром окружности, длина AD равна 2R, где R - радиус окружности.

Для нахождения высоты трапеции, нам понадобится биссектриса угла между хордой BC и диаметром AD. Эта биссектриса будет проходить через центр окружности, а значит, будет радиусом окружности. Поскольку угол между хордой и диаметром равен 60°, то угол между биссектрисой и диаметром будет равен 30°.

По теореме синусов для треугольника ABC: $\sin(30°) = \frac{BC/2}{R},$ $BC = 2R \cdot \sin(30°) = R.$

Теперь, чтобы найти высоту треугольника ABC, нам нужно найти расстояние от точки B до отрезка AD. Это будет равно $R \cdot \cos(30°) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, высота трапеции равна $h = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, а длины оснований AD и BC равны 2R и R соответственно.

Теперь можем найти площадь трапеции ABCD: $S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} = \frac{(2R + R) \cdot (R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}{2} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}.$