Question

В прямой треугольной призме ABCA1B1C1 уголАВС=90°, уголВАС=60°, АС=а. Прямая A1С составляет с плоскостью грани АA1B1В угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Answer 1

................................................................

Answer 2

Для нахождения площади боковой поверхности прямой треугольной призмы, нужно вычислить площадь всех боковых граней и сложить их.

1. Площадь боковой грани ABCA1: Грань ABCA1 - прямоугольный треугольник. У нас есть угол ВАС = 60° и сторона АС = а. Используем соотношение синуса для прямоугольного треугольника: sin(60°) = противолежащая / гипотенуза sin(60°) = а / AB AB = а / sin(60°)

Теперь высота грани ABCA1 - это сторона АВ (так как угол ВАС = 90°). Таким образом, площадь грани ABCA1: S_ABCA1 = (1/2) * AB * АВ S_ABCA1 = (1/2) * (а / sin(60°)) * а S_ABCA1 = (а^2) / (2 * sin(60°))

2. Площадь боковой грани A1B1CA: Грань A1B1CA - прямоугольный треугольник. Угол между A1С и плоскостью грани АA1B1В составляет 45°, значит, угол между A1C и плоскостью A1B1C1A составляет 45° (так как они взаимно перпендикулярны). Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: A1B1C1 и A1B1C с углами 45°, 45° и 90°.

У нас есть сторона АС = а и сторона A1C = а (так как грань A1B1C1A прямоугольный треугольник). Тогда площадь грани A1B1CA: S_A1B1CA = (1/2) * АС * A1C S_A1B1CA = (1/2) * а * а S_A1B1CA = (а^2) / 2

Так как в призме 3 боковые грани (ABCA1, A1B1CA и B1C1A1), площадь боковой поверхности призмы будет равна: S_бок = S_ABCA1 + S_A1B1CA + S_B1C1A1

S_бок = (а^2) / (2 * sin(60°)) + (а^2) / 2 + (а^2) / 2

S_бок = (а^2) * (1 / (2 * sin(60°)) + 1)

Теперь найдем значение sin(60°): sin(60°) = √3 / 2

Подставим это значение обратно в формулу площади: S_бок = (а^2) * (1 / (2 * (√3 / 2)) + 1)

S_бок = (а^2) * (1 / √3 + 1)

S_бок = (а^2) * ((1 + √3) / √3)

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна (а^2) * ((1 + √3) / √3).