Question

ДАЮ 24 БАЛА В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе образует с гипотенузой углы один из которых на 120 больше другого. найдите острые углы данного треугольника

Answer 1

Відповідь:

x+(x+120)=180

2x+120=180

2x=60

x=30

гострі кути трикутника: 30; 30

Пояснення:

Answer 2

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты, и M - середина гипотенузы AB, а также точка пересечения медианы AM и гипотенузы AB.

Мы знаем, что медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника, и она проходит через вершину прямого угла. Поэтому треугольник AMC и треугольник BMC равны по площади, и следовательно, у них равны гипотенузы:

AM = BM.

Также, по свойству медианы, она делит гипотенузу AB пополам:

AM = MB = 0.5 * AB.

Пусть углы AMB и BMA обозначены как α и α + 120° соответственно.

С учетом этих данных, мы можем записать:

sin(α) = AC / AM, sin(α + 120°) = BC / BM.

Используя соотношение AM = BM, получаем:

sin(α) = AC / AM, sin(α + 120°) = BC / AM.

Из первого уравнения получаем:

AC = AM * sin(α).

Из второго уравнения получаем:

BC = AM * sin(α + 120°).

Так как AM = 0.5 * AB, мы можем выразить AC и BC через AB:

AC = 0.5 * AB * sin(α), BC = 0.5 * AB * sin(α + 120°).

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

Площадь ABC = 0.5 * AC * BC, Площадь ABC = 0.5 * AB * CM.

Так как площади треугольников равны:

0.5 * AC * BC = 0.5 * AB * CM.

Подставляем выражения для AC и BC:

0.25 * AB^2 * sin(α) * sin(α + 120°) = 0.5 * AB * CM.

Упростим:

0.5 * sin(α) * sin(α + 120°) = CM.

Заметим, что sin(α + 120°) = sin(α)cos(120°) + cos(α)sin(120°) = -0.5sin(α) + (sqrt(3)/2)cos(α).

Подставляем это обратно в уравнение:

0.5 * sin(α) * (-0.5sin(α) + (sqrt(3)/2)cos(α)) = CM.

Упростим:

-0.25sin^2(α) + (sqrt(3)/4)sin(α)cos(α) = CM.

Используем тригонометрическую идентичность sin(2α) = 2sin(α)cos(α):

-0.25sin^2(α) + (sqrt(3)/4)(0.5)sin(2α) = CM, -0.25sin^2(α) + (sqrt(3)/8)sin(2α) = CM.

Нам дано, что AM = BM, а значит, CM = 0.5 * BM = 0.25 * AB.

Подставляем CM в уравнение:

-0.25sin^2(α) + (sqrt(3)/8)sin(2α) = 0.25 * AB.

Теперь у нас есть уравнение, связывающее угол α и длину AB. Решение этого уравнения довольно сложное и может потребовать численных методов. Например, можно воспользоваться численными методами для нахождения численных значений угла α и длины AB, которые удовлетворяют данному уравнению.