Question

Известно что в прямоугольном треугольнике угол А равен 15 градусов Найдите угол между высотой и бисектрисы​

Answer 1

Дано: ∠С=90°, ∠А=15°,

CD-биссектриса, CH-высота

∠DCH-?  

∠В=90-15=75°⇒∠НСВ=90-75=15°, ∠DCB=90/2=45°,так как СD-биссектриса,  тогда ∠DCH=∠DCB-∠HCB=45-15=30°.

Answer 2

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол A равен 15 градусам. Пусть H - это точка пересечения высоты из вершины A и биссектрисы угла A.

Высота, проведенная из вершины A, будет также являться медианой, так как треугольник ABC является прямоугольным. Таким образом, H будет серединой гипотенузы BC.

Биссектриса угла A также будет делить противолежащий катет (в данном случае, катет AC) на две отрезка, пропорциональных ближележащему катету (в данном случае, катет AB).

Угол между высотой и биссектрисой можно найти, используя соотношение отношений длин отрезков:

$\tan(\text{угол между высотой и биссектрисой}) = \frac{\text{длина ближайшей части биссектрисы}}{\text{длина ближайшей части высоты}}$

Так как биссектриса делит противолежащий катет AC на две отрезка, и у нас уже есть соотношение сторон в прямоугольном треугольнике, то мы можем найти длину ближайшей части биссектрисы и высоты.

Пусть AB = a, BC = b (гипотенуза), и AC = c (противолежащий катет).

Согласно теореме о синусах в треугольнике ABC: $\sin(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{c}$ $\Rightarrow b = c \cdot \sin(A)$

Поскольку у нас прямоугольный треугольник и угол A равен 15 градусам: $\sin(15^\circ) = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Теперь мы можем найти длину ближайшей части биссектрисы, которая делит AC на две отрезка:

Длина ближайшей части биссектрисы = $\frac{c}{2} \cdot \frac{AB}{AB + BC} = \frac{c}{2} \cdot \frac{a}{a + b}$

Теперь мы можем найти длину ближайшей части высоты, которая делит BC пополам:

Длина ближайшей части высоты = $\frac{b}{2} = \frac{c \cdot \sin(A)}{2}$

Теперь мы можем найти тангенс угла между высотой и биссектрисой:

$\tan(\text{угол между высотой и биссектрисой}) = \frac{\text{длина ближайшей части биссектрисы}}{\text{длина ближайшей части высоты}}$ $= \frac{\frac{c}{2} \cdot \frac{a}{a + b}}{\frac{c \cdot \sin(A)}{2}}$ $= \frac{a}{a + b} \cdot \frac{1}{\sin(A)}$

Теперь подставляем значение угла A = 15 градусов и вычисляем:

$\tan(\text{угол между высотой и биссектрисой}) = \frac{a}{a + b} \cdot \frac{1}{\sin(15^\circ)}$

Подставляя $\sin(15^\circ) = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$, исходные значения сторон и угла A, мы можем вычислить приблизительное значение тангенса и затем найти угол:

$\tan(\text{угол между высотой и биссектрисой}) \approx \frac{a}{a + b} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Учитывая, что $a = c \cdot \cos(A) = c \cdot \cos(15^\circ)$, и $b = c \cdot \sin(A) = c \cdot \sin(15^\circ)$, мы можем подставить значения и вычислить приблизительное значение тангенса:

$\tan(\text{угол между высотой и биссектрисой}) \approx \frac{c \cdot \cos(15^\circ)}{c \cdot \cos(15^\circ) + c \cdot \sin(15^\circ)} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$\approx \frac{\cos (15^{\circ })}{}$ 0 0