Question

Окружность вписана в прямоугольную трапецию. Известно, что больший угол этой трапеции равен 120, а одно из оснований больше другого на 18 корень из 3. Найти радиус окружности

Answer 1

Сумма углов четырехугольника 360.

A=B=90, C=120 => D=60

Опустим высоту CH.

ABCH - прямоугольник, BC=AH

HD =AD-AH =AD-BC =18√3

В треугольнике с углами 60, 90 стороны относятся как 1:√3:2

CH =HD*V3 =18√3*√3 =54

Диаметр вписанной окружности трапеции равен ее высоте.

r =CH/2 =27

Answer 2

Обозначим основания трапеции как $AB$ и $CD$, где $AB$ больше, чем $CD$, и $AD$ и $BC$ - боковые стороны. Пусть $O$ - центр вписанной окружности, $r$ - радиус этой окружности. Также пусть точка $E$ - точка касания окружности со стороной $AD$, а точка $F$ - точка касания окружности со стороной $BC$.

Так как окружность вписана в трапецию, то линии, соединяющие точки касания окружности со сторонами трапеции, будут перпендикулярны к этим сторонам и проходить через центр окружности $O$.

Также, так как $EF$ - это радиус окружности, он будет перпендикулярен к $AB$ и $CD$, а также проходить через центр окружности $O$.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник $AEO$, где $AE = r$ - радиус окружности. Угол $\angle AEO$ прямой (перпендикулярность радиуса), и у нас также есть угол $\angle AEO = 120$ (так как больший угол трапеции).

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, следовательно, $\angle AOE = 180 - 90 - 120 = -90$ градусов. Но это не имеет физического смысла, так как угол не может быть отрицательным. Это говорит нам о том, что в действительности угол $\angle AOE$ должен быть остроугольным, а не прямым.

Это возможно только если точка $E$ находится внутри отрезка $AD$. Поскольку окружность касается стороны $AD$, а не пересекает её, это вполне возможно.

Таким образом, у нас есть остроугольный треугольник $AEO$ с углом $AEO = 120^\circ$ и гипотенузой $AE = r$. Мы также знаем, что $AE$ коррелирует с основанием $AB$ и что $AB = CD + 18\sqrt{3}$. Так как $AB > CD$, мы можем записать:

$AB = CD + 18\sqrt{3} \implies AB > 18\sqrt{3}.$

Теперь у нас есть остроугольный треугольник, в котором известны угол $AEO$ и гипотенуза $AE$, а также длина противоположного катета $AB$. Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти $r$:

$\tan(\angle AEO) = \frac{AB}{AE}.$

Подставляя значения, получаем:

$\tan(120^\circ) = \frac{AB}{r}.$

Так как $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$, мы можем решить уравнение:

$-\sqrt{3} = \frac{AB}{r}.$

Теперь мы знаем, что $AB > 18\sqrt{3}$, поэтому:

$-\sqrt{3} = \frac{AB}{r} > \frac{18\sqrt{3}}{r}.$

Отсюда:

$-1 > \frac{18}{r}.$

Перемножим обе стороны на $r$, помним, что радиус $r$ положителен:

$-r > 18.$

Это противоречие, так как радиус окружности не может быть отрицательным. Это означает, что наше предположение о том, что точка $E$ находится внутри отрезка $AD$, неверно. Следовательно, остроугольный треугольник $AEO$ невозможен.

Таким образом, вопрос был некорректно сформулирован, и решение данной задачи на основе предоставленных данных невозможно.