Question

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 см и 9 см. найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 68 см

Answer 1

Ответ:

R=19

Объяснение:

Answer 2

Пусть $AB$ и $AC$ — катеты прямоугольного треугольника, $BC$ — гипотенуза. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $r$ — радиус этой окружности, $D$ — точка касания окружности с гипотенузой $BC$.

Мы знаем, что касательная к окружности в точке касания $D$ перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Поэтому $OD \perp BC$.

Пусть $BD = x$ и $CD = BC - x$. Тогда, согласно заданию, $x = 6$ см, $CD = 9$ см.

Так как $OD \perp BC$, то $OD$ — высота прямоугольного треугольника $OBD$. Также, по свойству вписанного угла, угол $BOC$ является прямым углом, и поэтому $BD$ — высота прямоугольного треугольника $OBC$.

По теореме Пифагора для треугольника $OBD$ получаем: $OB^2 = OD^2 + BD^2$

По теореме Пифагора для треугольника $OBC$ получаем: $OB^2 = OC^2 + BC^2$

Сравнив эти два уравнения, мы видим, что $OC^2 + BC^2 = OD^2 + BD^2$.

Заменяя известные значения и $BD = x$, $CD = BC - x$, получаем: $r^2 + BC^2 = r^2 + x^2$ $BC^2 = x^2$

Теперь мы можем найти значение гипотенузы $BC$: $BC^2 = x^2$ $BC^2 = 6^2$ $BC = 6\sqrt{2}$

Известно, что полупериметр $s$ треугольника равен: $s = \frac{AB + AC + BC}{2}$

С учетом заданных значений $AB = x = 6$ и $AC = CD = 9$, подставим их в уравнение и решим относительно $BC$: $s = \frac{6 + 9 + BC}{2}$ $2s = 15 + BC$ $BC = 2s - 15$ $6\sqrt{2} = 2s - 15$ $s = \frac{21}{2}$

Теперь у нас есть значение полупериметра $s$, и мы можем использовать формулу для радиуса $r$ вписанной окружности в зависимости от полупериметра и площади $S$ треугольника: $S = rs$

Площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OD$

Подставляем известные значения и находим $r$: $\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot r = \frac{21}{2} \cdot r$ $r = \frac{6\sqrt{2}}{21} = \frac{2\sqrt{2}}{7}$

Итак, радиус вписанной окружности равен $\frac{2\sqrt{2}}{7}$