Question

Докажите, что точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной около этого треугольника окружностью лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника.

Answer 1

Ответ:8. Поскольку луч AD — биссектриса угла ВАС, то дуги BD и DC равны. Следовательно, BD=DC (это следует из того, что сегменты с указанными дугами можно совместить наложением). Поэтому точка D лежит на серединном пер- перпендикуляре к отрезку ВС, что и требовалось доказать.

Нажми, чтобы рассказать другим,

Объяснение:

Answer 2

Для начала дадим обозначения:

Пусть у нас есть треугольник ABC, у которого описанная окружность имеет центр O, а биссектриса угла BAC пересекает описанную окружность в точке D. Также пусть M - середина стороны BC.

Нам нужно доказать, что точка D лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC, то есть на отрезке MO.

Для этого рассмотрим следующие шаги:

1. Поскольку точка D - это точка пересечения биссектрисы угла BAC и описанной окружности, то она является средней линией треугольника ABC (то есть лежит на биссектрисе и перпендикулярна его стороне BC).

2. Также известно, что при пересечении биссектрисы с описанной окружностью выполняется равенство: AB/BD = AC/CD. Это следует из того, что биссектриса делит сторону треугольника пропорционально смежным сторонам.

3. Поскольку AB/BD = AC/CD, можно записать равенство AB * CD = AC * BD.

4. Рассмотрим теперь треугольник ABD. Он имеет равные углы ABD и BAD, так как точка D находится на описанной окружности. Также известно, что угол BAD равен углу CAD (по свойству биссектрисы).

5. Теперь у нас есть два подобных треугольника: ABC и ABD, так как у них соответствующие углы равны. Следовательно, они имеют пропорциональные стороны.

6. В частности, AC/AB = CD/BD. Но мы знаем, что AC/AB = MC/MB, так как M - середина стороны BC.

7. Таким образом, MC/MB = CD/BD. Это означает, что треугольники MCB и DCB подобны.

8. Из подобия треугольников следует, что у них соответственные углы равны, а значит, угол MBC равен углу BDC.

9. Но угол MBC также равен углу ABC, так как M - середина стороны BC.

10. Из равенства углов ABC и BDC следует, что треугольники ABC и BDC подобны.

11. Значит, у них соответственные стороны также пропорциональны: AB/BC = BD/DC.

12. Но мы знаем, что AB/BC = 2 * AM/MC (из свойств серединного перпендикуляра) и BD/DC = BD/CD = BD/2CD (так как точка D делит биссектрису в отношении 1:2).

13. Из равенства 2 * AM/MC = BD/2CD следует, что AM/MC = BD/CD.

14. Это означает, что треугольники AMC и DBC также подобны.

15. Следовательно, у них равны соответственные углы, а значит, угол AMC равен углу BDC.

16. Но угол AMC также равен углу BMC, так как M - середина стороны AC.

17. Таким образом, угол BMC равен углу BDC.

18. Из равенства углов BMC и BDC следует, что точка D лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC.

Таким образом, мы доказали, что точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной около этого треугольника окружностью действительно лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника.