Question

В треугольнике ABC, AB = 6, угол C = 30 °. Найдите длину окружности, описанной около треугольника

Answer 1

Ответ:

$12\pi$

Объяснение:

Начертив треугольник и круг, мы видим, что известный нам угол С лежит напротив известного отрезка AB. Вспоминаем свойства окружности, которая описывает треугольник. "R окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла". Короче $\frac{AB}{2 sinC}$

Синус 30 градусов = 1/2. Следовательно, R = $\frac{6}{2*\frac{1}{2} }$ = 6.  Далее используем формулу длины окружности и получаем $2*6*\pi$

Answer 2

Для нахождения длины окружности, описанной около треугольника ABC, можно воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности. Формула звучит так:

$R = \frac{a}{2 \sin A},$

где $R$ - радиус описанной окружности, $a$ - длина стороны треугольника (в данном случае, сторона AB), $A$ - мера угла при вершине треугольника напротив стороны $a$ (в данном случае, это угол C).

Дано: $AB = 6$ (сторона треугольника) $C = 30^\circ$ (мера угла C)

Сначала найдем меру угла A (угол напротив стороны $AB$): $A = 180^\circ - C - B,$ где $B$ - мера угла при вершине $B$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $B = 180^\circ - C - A$.

Теперь мы можем вычислить синус угла $A$: $\sin A = \sin (180^\circ - C - A).$

С помощью тригонометрической формулы $\sin (180^\circ - x) = \sin x$, мы можем переписать это как: $\sin A = \sin (C + A).$

Мы знаем, что $\sin (C + A) = \sin C \cos A + \cos C \sin A$. Известно, что $\sin 30^\circ = 0.5$ и $\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$.

Теперь мы можем решить уравнение для $\sin A$: $\sin A = \sin 30^\circ \cos A + \cos 30^\circ \sin A.$ $\sin A - \cos 30^\circ \sin A = \sin 30^\circ \cos A.$ $\sin A (1 - \cos 30^\circ) = \sin 30^\circ \cos A.$ $\sin A = \frac{\sin 30^\circ \cos A}{1 - \cos 30^\circ}.$

Теперь, используя формулу для радиуса описанной окружности: $R = \frac{AB}{2 \sin A},$ $R = \frac{6}{2 \sin A}.$

Подставим значение $\sin A$: $R = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sin 30^\circ \cos A}{1 - \cos 30^\circ}}.$

$R = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\cos A}{1 - \cos 30^\circ}}.$

$R = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3} \cdot \cos A} = \frac{12}{\sqrt{3} \cdot \cos A} = \frac{12 \sqrt{3}}{3 \cdot \cos A} = \frac{4 \sqrt{3}}{\cos A}.$

Теперь мы можем использовать определение функции косинуса: 0 0