Question

кружность вписанная в треугольник DEF касается стороны DF в точке А такой, что АD-АF=14 см. Вершина Е удалена от точки касания вписанной окружности со стороной EF на 4 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр 60 см.

Answer 1

Ответ:

Обозначим треугольник DEF (DE = EF). Пусть C — точка касания с основанием.

Длиной боковой стороны может быть только 8 (иначе не будет выполняться неравенство треугольника) . Основание, значит, 4.

Поскольку C — середина DF, а касательные к окружности, проведённые из одной точки, равны, имеем:

AD = DC = CF = FB = 4/2 = 2.

Значит, AE = BE = 8 − 2 = 6. Треугольники AEB и DEF подобны с коэффициентом подобия AE/DE = 6/8 = 3/4. Поэтому AB = 3/4·DF = 3.

Answer 2

Обозначим стороны треугольника DEF как DE, EF и FD, и пусть O - центр вписанной окружности. Также обозначим точку касания окружности с стороной EF как P.

Сначала посмотрим на треугольник DEF. По условию, его периметр равен 60 см:

DE + EF + FD = 60 см (1)

Известно, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

DE + EF > FD DE + FD > EF EF + FD > DE

Применим эти неравенства к нашему случаю:

DE + EF > FD => EF > FD - DE (2) DE + FD > EF => FD > EF - DE (3) EF + FD > DE => EF > DE - FD (4)

Теперь вернемся к данному: "Вершина Е удалена от точки касания вписанной окружности со стороной EF на 4 см." Это означает, что EF = EP + FP = EP + FD.

Из условия "кружность вписанная в треугольник DEF касается стороны DF в точке А такой, что АD-АF=14 см" следует, что AD = AF + FD.

Так как AD - AF = 14 и FD > 0 (по неравенству (3)), то FD = 14.

Из (4) следует, что EF > 14, так как DE - FD = DE - 14 > 0.

Из (2) следует, что EF > DE.

Суммируя все это вместе: DE < EF < EF + FD = EF + 14.

Поскольку периметр треугольника равен 60 см, то DE + EF + FD = DE + EF + 14 = 60 см.

Теперь у нас есть система неравенств и уравнение:

DE + EF + 14 = 60 (5) DE < EF < EF + 14

Мы знаем, что EF > DE, поэтому из уравнения (5) выражаем EF:

EF = 60 - DE - 14 EF = 46 - DE (6)

Теперь мы можем использовать (6) и условие EF = EP + FD:

46 - DE = EP + 14 EP = 46 - DE - 14 EP = 32 - DE (7)

Теперь мы можем использовать два уравнения (6) и (7) для поиска DE и EP:

DE > 0 EF = 46 - DE > 0 => DE < 46 EP = 32 - DE > 0 => DE < 32

Из этих двух неравенств следует, что 32 > DE > 0.

Таким образом, у нас есть ограничение на длину стороны DE: 0 < DE < 32.

Зная, что DE + EF + FD = 60, подставляем в это уравнение выражения (6) и (7):

DE + 46 - DE + 14 = 60 60 = 60

Уравнение верно, значит, решение удовлетворяет условиям.

В итоге, у нас есть два ограничения: 0 < DE < 32 и EF = 46 - DE.

Строим график EF = 46 - DE. Это будет прямая линия, проходящая через точки (0, 46) и (32, 14).

Так как периметр треугольника равен 60, то:

DE + EF + FD = 60 DE + (46 - DE) + 14 = 60 60 = 60

Условие выполняется, и мы получаем, что возможным решением будет треугольник с сторонами:

DE = 32 EF = 14 FD = 14

Таким образом, стороны треугольника DEF равны DE = 32 см, EF = 14 см и FD = 14 см.