Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45°. Найдите объем пирамиды.​

Answer 1

Ответ:

Объем шестиугольной пирамиды = 1/3 * S основания * высоту, опущенную к этому основанию.

S основания = (3√3)/2 * а^2, где а - сторона основания.

S основания = (3√3)/2 * 64

Высота пирамиды - АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC по условию угол АСВ = 45 градусам => АВ = ВС = 8

Тогда объем:

V = 1/3 * (3√3)/2 * 64 * 8 = 256√3 см3

Answer 2

Объем правильной треугольной пирамиды можно вычислить по формуле:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h,$

где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания пирамиды, $h$ - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания $S_{\text{осн}}$. Основание треугольной пирамиды - равносторонний треугольник. Формула для площади равностороннего треугольника:

$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2,$

где $a$ - длина стороны основания.

Дано $a = 8$ см. Подставляем:

$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2.$

Теперь нам нужно найти высоту $h$ пирамиды. Так как угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45°, мы можем разделить равносторонний треугольник на два равнобедренных треугольника с углом 45°.

Высота $h$ одного из таких равнобедренных треугольников будет половиной диагонали основания:

$h = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см}.$

Теперь, подставив значения $S_{\text{осн}}$ и $h$ в формулу для объема $V$, получим:

$V = \frac{1}{3} \times 16 \sqrt{3} \times 4 = \frac{64}{3} \sqrt{3} \approx 37.09 \, \text{см}^3.$

Итак, объем пирамиды составляет приблизительно $37.09 \, \text{см}^3$.