Question

В прямой призме АВСА1В1С1 угол ABC = 90°, угол CAB = 60°; АВ = 2 см, АА1=2√3 см. 1) Найдите площадь полной поверхности призмы. 2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью А1ВС. 3) Найдите угол между плоскостями А1ВС и ABC. 4) Найдите угол между прямой СС1 и плоскостью А1ВС. 5) Разложите вектор (A1M) ⃗ по векторам (А1А) ⃗, А1В и (А1С) ⃗, если М — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Answer 1

............................................

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:

1. Площадь полной поверхности призмы можно найти, сложив площади всех её граней. Призма имеет две прямоугольные грани ABC и A1B1C1, и четыре равных равнобедренных треугольных грани: CAB, A1AC1, B1BC1 и ABC1.

Площадь прямоугольных граней: ABC: AB * BC = 2 см * 2√3 см = 4√3 см² A1B1C1: A1B1 * B1C1 = 2√3 см * 2 см = 4√3 см²

Площадь треугольных граней: CAB: 0.5 * AC * AB * sin(CAB) = 0.5 * 2 см * 2√3 см * sin(60°) = 2√3 см² A1AC1: 0.5 * A1C1 * A1A * sin(CAB) = 0.5 * 2 см * 2√3 см * sin(60°) = 2√3 см² B1BC1: 0.5 * B1C1 * B1B * sin(CAB) = 0.5 * 2 см * 2√3 см * sin(60°) = 2√3 см² ABC1: 0.5 * AC1 * AC * sin(CAB) = 0.5 * 2 см * 2√3 см * sin(60°) = 2√3 см²

Суммируем все площади: Полная площадь = 4√3 + 4√3 + 2√3 + 2√3 + 2√3 + 2√3 = 16√3 см².

2. Площадь сечения плоскостью A1BС можно найти как площадь треугольника A1BC, где A1B - основание треугольника, BC - высота треугольника.

Площадь сечения A1BC = 0.5 * A1B * BC = 0.5 * 2√3 см * 2 см = 2√3 см².

3. Угол между плоскостью A1BС и ABC можно найти как угол между их нормалями (нормалями к плоскостям).

Нормали можно выразить как векторные произведения направляющих векторов плоскостей: Нормаль A1BС: (A1B) ⃗ × (A1C) ⃗ Нормаль ABC: (AB) ⃗ × (AC) ⃗

После вычисления и нормализации векторных произведений, угол между нормалями будет равен углу между плоскостями.

4. Угол между прямой СС1 и плоскостью A1BС можно найти, используя скалярное произведение вектора, параллельного СС1, и нормали плоскости A1BС.

5. Для разложения вектора (A1M) ⃗ по векторам (A1A) ⃗, A1B и (A1C) ⃗, нужно выразить вектор (A1M) ⃗ через эти векторы, используя координаты или другие известные данные. Например, если даны координаты вершин треугольника ABC и точки M, можно использовать метод векторов.