Question

1. Составьте общее уравнение прямой проходящей через точки А(2;6) и В(-4;0) [2] 2. Точки О(0;0), А(5; 5), C(1;3) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки B . [3] 3. Даны точки А, В, С. Если А(-4; 2) и С(-1; -1) и точка В является серединой отрезка АС, то найдите координаты точки В. [4] 4. а) Изобразите окружность, соответствующей уравнению (x −5)2 + (y −10)2 =25 . b) Определите взаимное расположение прямой y = 5 и окружности (x −5)2 + (y −10)2 =25 . [4] 5. Докажите, что четырехугольник с вершинами А (1;2), В (4;-1), С(8;3), D(5;6) является прямоугольником.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

во вложении

Answer 2

1. Общее уравнение прямой можно найти, используя формулу уравнения прямой через две точки:

Уравнение прямой: y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) = (2, 6) - координаты точки А, (x₂, y₂) = (-4, 0) - координаты точки В, m - угловой коэффициент прямой.

Сначала найдем угловой коэффициент: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (0 - 6) / (-4 - 2) = -6 / -6 = 1.

Подставляем значения в уравнение: y - 6 = 1(x - 2), y = x - 2 + 6, y = x + 4.

Итак, уравнение прямой, проходящей через точки А(2,6) и В(-4,0), это y = x + 4.

2. Точки A(5, 5), C(1, 3) и O(0, 0) образуют вектора AC и AO. Так как точка B лежит в параллелограмме, то вектор AB будет равен вектору OC.

AB = OC, (xB - xA, yB - yA) = (xC - xO, yC - yO), (xB - 5, yB - 5) = (1 - 0, 3 - 0), (xB - 5, yB - 5) = (1, 3).

Отсюда получаем систему уравнений: xB - 5 = 1, yB - 5 = 3.

Решаем систему: xB = 1 + 5 = 6, yB = 3 + 5 = 8.

Таким образом, абсцисса точки B равна 6.

3. Если точка B является серединой отрезка AC, то средние значения их координат будут равны координатам точки B:

xВ = (xА + xС) / 2 = (-4 + (-1)) / 2 = -5 / 2 = -2.5, yВ = (yА + yС) / 2 = (2 + (-1)) / 2 = 1 / 2 = 0.5.

Итак, координаты точки B равны (-2.5, 0.5).

4. а) Уравнение окружности дано в виде (x - h)² + (y - k)² = r², где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус.

В данном случае, (h, k) = (5, 10), r = √25 = 5. Исходя из этого, уравнение окружности можно записать как (x - 5)² + (y - 10)² = 25.

б) Уравнение окружности (x - 5)² + (y - 10)² = 25 имеет центр в точке (5, 10) и радиус 5. Прямая y = 5 является горизонтальной линией, которая пересекает окружность на двух точках. Так как центр окружности находится выше горизонтальной линии y = 5, то точки пересечения будут находиться выше этой линии.

Итак, взаимное расположение: прямая y = 5 пересекает окружность (x - 5)² + (y - 10)² = 25 в двух точках выше горизонтальной линии y = 5.

5. Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что его стороны перпендикулярны друг другу. Это можно сделать, вычислив угловые коэффициенты для пар сторон AB и BC, а также CD и DA.

a) Сторона AB: Угловой коэффициент AB = (yB - yA) / (xB - xA) = (-1 - 2) / (4 - 1) = -3 / 3 = -1.

b) Сторона BC: Угловой коэффициент BC = (yC - yB) / (xC - xB) = (3 - (-1)) / (8 - 4) = 4 / 4 = 1.

c) Сторона CD: Угловой коэффициент CD = (yD - yC) / (xD - xC) = (6 - 3) / (5 - 1) = 3 / 4.

d) Сторона DA: Угловой коэффициент DA = (yA - yD) / (xA - xD) = (2 - 6) / (1 - 5) = -4 / -4 = 1.

Из вычисленных угловых коэффициентов видно, что сторона AB перпендикулярна стороне BC (произведение их угловых коэффициентов равно -1), а также сторона CD перпендикулярна стороне DA (произведение их угловых коэффициентов равно -1). Таким образом, все стороны параллелограмма ABCD перпендикулярны друг другу, и четырехугольник ABCD является прямоугольником.