Question

1. Составьте общее уравнение прямой , проходящей через точки А(0;5) и В(-3;0). (2) 2. Точки О(0;0), А(1;7); В(6; 10) и С являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки С. (3) 3. Точка М делит отрезок РК в отношении 2:1, начиная от точки Р. Найдите координаты точки М, если точки М и К имеют соответственно координаты Р(5;1), К(2;7). (4) 4. Изобразите окружность, соответствующую уравнению (х-1)2+(у-3)2=16. Определите взаимное расположение прямой у=7 и этой окружности. (4) 5. Докажите, что четырехугольник АВСМ с вершинами в точках А(1;2), В(3;5), С(5;2), М(3;-1) является ромбом. (7)

Answer 1

Ответ:

точка О(О-) о это вершины параллельно парал РК это 21 начинается от точки Р

Answer 2

1. Уравнение прямой, проходящей через точки А(0;5) и В(-3;0), можно найти, используя уравнение прямой в общем виде: y = mx + b, где m - коэффициент наклона прямой, а b - свободный член.

   Для определения коэффициента наклона m, используем разницу в координатах точек A и B: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - 5) / (-3 - 0) = (-5) / (-3) = 5/3.

   Теперь, зная m, мы можем найти b, подставив одну из точек (допустим, A(0;5)) в уравнение: 5 = (5/3) * 0 + b, b = 5.

   Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через точки A(0;5) и В(-3;0), будет: y = (5/3)x + 5.

2. Для найти ординату точки C в параллелограмме с вершинами O(0;0), A(1;7), B(6;10) и C(x;y), можно воспользоваться свойствами параллелограмма. Одно из таких свойств гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Таким образом, координаты точки C можно найти, поделив сумму координат точек O и B на 2: x = (0 + 6) / 2 = 3, y = (0 + 10) / 2 = 5.

   Таким образом, ордината точки C равна 5.

3. Для нахождения координат точки M, которая делит отрезок РК в отношении 2:1, начиная от точки Р, можно использовать формулу разделения отрезка: Если точка M делит отрезок РК в отношении a:b, то её координаты можно найти следующим образом: xM = (axK + bxP) / (a + b), yM = (ayK + byP) / (a + b).

   В данном случае a = 2, b = 1, координаты точек Р(5;1) и К(2;7). Подставим их в формулу: xM = (22 + 15) / (2 + 1) = (4 + 5) / 3 = 9/3 = 3, yM = (27 + 11) / (2 + 1) = (14 + 1) / 3 = 15/3 = 5.

   Таким образом, координаты точки M равны (3;5).

4. Уравнение окружности (x-1)^2 + (y-3)^2 = 16 имеет центр в точке (1,3) и радиус равен 4 (корень из 16). Теперь определим взаимное расположение прямой y=7 и этой окружности.

   Если прямая y=7 пересекает окружность, то x-координата точек пересечения будет совпадать с x-координатой центра окружности (1), и y-координата будет равна 7. Таким образом, прямая пересекает окружность в точках (1,7) и (1,-1).

   Если y=7 не пересекает окружность, то она будет параллельна ей и находится на расстоянии, большем чем радиус, от центра окружности. В данном случае, она не пересекает окружность.

5. Для доказательства того, что четырехугольник ABCM является ромбом, можно использовать определение ромба. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны и диагонали перпендикулярны друг другу и делятся пополам.

   Посмотрим на координаты вершин четырехугольника: A(1;2), B(3;5), C(5;2), M(3;-1).

   1. Проверим равенство сторон: AB = √((3 - 1)^2 + (5 - 2)^2) = √(4 + 9) = √13, BC = √((5 - 3)^2 + (2 - 5)^2) = √(4 + 9) = √13, CD = √((3 - 5)^2 + (-1 - 2)^2) = √(4 + 9) = √13, DA = √((1 - 3)^2 + (2 - (-1))^2) = √(4 + 9) = √13.

   Все стороны равны √13, следовательно, это условие выполняется.

   2. Проверим, что диагонали перпендикулярны друг другу: Диагонали AC и BM: AC: Вектор AC = (5 - 1, 2 - 2) = (4, 0). BM: Вектор BM = (3 - 3, -1 - 5) = (0, -6).

   Поскольку их скалярное произведение равно 40 + 0(-6) = 0, то диагонали перпендикулярны.

   3. Проверим, что диагонали делятся пополам: Средняя точка диагонали AC: x_AC = (1 + 5) / 2 = 3, y_AC = (2 + 2) / 2 = 2.

   Средняя точка диагонали BM: x_BM = (3 + 3) / 2 = 3, y_BM = (-1 - 5) / 2 = -3.

   Диагонали делятся пополам и проходят через одну и ту же точку (3,2), поэтому это условие также выполняется.

   Итак, четырехугольник ABCM удовлетворяет всем условиям ромба, и, следовательно, он является ромбом.