Question

. Составьте общее уравнение прямой проходящей через точки А(2;6) и В(-4;0) [2] 2. Точки О(0;0), А(5; 5), C(1;3) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки B . [3] 3. Даны точки А, В, С. Если А(-4; 2) и С(-1; -1) и точка В является серединой отрезка АС, то найдите координаты точки В. [4] 4. а) Изобразите окружность, соответствующей уравнению (x −5)2 + (y −10)2 =25 . b) Определите взаимное расположение прямой y = 5 и окружности (x −5)2 + (y −10)2 =25 . [4] 5. Докажите, что четырехугольник с вершинами А (1;2), В (4;-1), С(8;3), D(5;6) является прямоугольником.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:во  вложении

Answer 2

1. Общее уравнение прямой проходящей через точки А(2;6) и В(-4;0): Уравнение прямой можно записать в виде y = kx + b, где k - коэффициент наклона, b - свободный член.

Сначала найдем коэффициент наклона k: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - 6) / (-4 - 2) = -6 / -6 = 1.

Теперь подставим одну из точек (например, точку А(2;6)) и найдем свободный член b: 6 = 1 * 2 + b b = 6 - 2 b = 4.

Таким образом, уравнение прямой будет y = x + 4.

2. Для параллелограмма верно, что вектор, соединяющий противоположные вершины, имеет одинаковую длину и направление. В данном случае, это вектор AC и вектор OB.

Вектор AC = C - A = (1 - 5, 3 - 5) = (-4, -2). Вектор OB = B - O = (x - 0, y - 0) = (x, y).

Так как векторы AC и OB равны, их координаты должны быть равными: x = -4, y = -2.

Абсцисса точки B равна -4.

3. Так как точка В является серединой отрезка АС, то её координаты будут средними координатами точек А и С: x = (x_A + x_C) / 2 = (-4 + (-1)) / 2 = -5 / 2 = -2.5, y = (y_A + y_C) / 2 = (2 + (-1)) / 2 = 1 / 2 = 0.5.

Таким образом, координаты точки В равны (-2.5, 0.5).

4. а) Уравнение окружности (x - 5)^2 + (y - 10)^2 = 25 описывает окружность с центром в точке (5, 10) и радиусом 5.

б) Прямая y = 5 горизонтальная и проходит по y = 5 на всей своей длине. Радиус окружности равен 5, и её центр находится в точке (5, 10). Прямая y = 5 пересекает окружность в двух точках с координатами (0, 5) и (10, 5).

Таким образом, прямая y = 5 пересекает окружность в двух точках: (0, 5) и (10, 5).

5. Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что его стороны перпендикулярны и имеют равные длины.

Вычислим векторы сторон: AB = B - A = (4 - 1, -1 - 2) = (3, -3), BC = C - B = (8 - 4, 3 - (-1)) = (4, 4), CD = D - C = (5 - 8, 6 - 3) = (-3, 3), DA = A - D = (1 - 5, 2 - 6) = (-4, -4).

Векторы AB и CD оказываются равными и противоположными, а векторы BC и DA также равны и противоположны. Это свидетельствует о параллельности противоположных сторон.

Проверим теперь, что скалярное произведение AB и BC равно нулю: AB * BC = (3, -3) * (4, 4) = 3*4 + (-3)*4 = 12 - 12 = 0.

Также, проверим, что скалярное произведение BC и CD равно нулю: BC * CD = (4, 4) * (-3, 3) = 4*(-3) + 4*3 = -12 + 12 = 0.

Это означает, что стороны AB и BC перпендикулярны, а также стороны BC и CD перпендикулярны. Таким образом, все четыре угла четырехугольника прямые углы.

Также, можно заметить, что длины сторон AB, BC, CD и DA равны друг другу (3, 4, 3, 4), что подтверждает равенство противоположных сторон.

Исходя из этих фактов, можно сделать вывод, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.