Question

100б 1) Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярные. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если ее боковая сторона равна 7√2 см. 2) Площадь равнобедренного треугольника равна 192см2, а радиус вписанной окружности – 6 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 4 см больше боковой стороны. Нужно подробное решение!

Answer 1

На сколько я понял требуется решить только первую задачу.

Дана трапеция ABCD, AB=CD=7√2 см; AC⊥BD.

Найти радиус описанной около ABCD.

Пусть AC∩BD=F и пусть ∠FAB=α.

Вокруг равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность!

ΔABD=ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB=DC; AD - общая; ∠BAD=∠CDA), поэтому ∠ADB=∠DAC, как углы лежащий напротив равных сторон в равных треугольниках.

В ΔAFD:

∠AFD=90°; ∠FAD=∠FDA=(180°-∠AFD):2=90°:2=45°. Таким образом ΔAFD - равнобедренный прямоугольны, AF=DF.

В прямоугольном ΔAFB:

AF=AB·cosα=7√2·cosα см

BF=AB·sinα=7√2·sinα см

В ΔABD:

BD=BF+FD=BF+AF=7√2·(sinα+cosα) см

∠BAD=α+45°

Вокруг ΔABD описана таже окружность, что и вокруг трапеции.

По теореме синусов: $2R=\dfrac{BD}{sin(BAD)}$ , где R - радиус описанной.

$R=\dfrac{7\sqrt{2}(sin\alpha +cos\alpha)}{2sin(\alpha +45^{\circ})}=\dfrac{7\sqrt{2}(sin\alpha +cos\alpha)}{2(sin\alpha \cdot cos45^{\circ}+cos\alpha\cdot sin45^{\circ})}=\\\\=\dfrac{7\sqrt{2}(sin\alpha +cos\alpha)}{\sqrt2(sin\alpha+cos\alpha)}=7cm$

Ответ: 7 см.

Answer 2

Давайте рассмотрим оба задания по порядку и найдем решение для каждого из них.

Задание 1: Для начала, давайте обозначим данную трапецию. Пусть ABCD - равнобокая трапеция, где AB || CD, и диагонали AC и BD перпендикулярны.

Пусть AB = 7√2 см (боковая сторона трапеции).

Чтобы найти радиус окружности, описанной около трапеции, нам нужно найти половину диагонали трапеции. Поскольку диагонали равнобокой трапеции равны и перпендикулярны, то они делят друг друга пополам.

Пусть точка пересечения диагоналей - это точка O. Тогда AO и BO - это половины диагоналей, и они равны между собой.

Мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, используя диагонали. Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника AOB и COD.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника AOB: AB² = AO² + BO²

Зная, что AB = 7√2 см, мы должны найти AO и BO.

AO = BO (половины диагоналей равны)

AB² = 2 * AO² (подставляем AO = BO)

AO² = AB² / 2 AO = BO = √(AB² / 2)

Подставляем значение AB = 7√2 см:

AO = BO = √(2 * (7√2)² / 2) AO = BO = √(2 * 98 / 2) AO = BO = √98 AO = BO = 7 см

Теперь, радиус окружности, описанной около трапеции, равен AO (или BO) - 7 см.

Задание 2: Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC. Пусть I - центр вписанной окружности.

Дано: Площадь треугольника ABC = 192 см² Радиус вписанной окружности r = 6 см

Так как треугольник ABC - равнобедренный, мы знаем, что высота, проведенная из вершины A, будет одновременно и медианой, и биссектрисой.

Пусть M - середина BC (основание треугольника), то есть AM - медиана и биссектриса.

Так как AM является медианой, она делит основание BC пополам: BM = MC = BC / 2

Известно также, что треугольник AIM прямоугольный, так как AI - радиус вписанной окружности, а IM - медиана (и биссектриса), проведенная к основанию BC. Таким образом, можем использовать теорему Пифагора для треугольника AIM:

AI² = AM² + IM²

Подставляем известные значения: AI = 6 см, AM = BC / 2 и IM = BM = MC:

6² = (BC / 2)² + BM²

36 = BC² / 4 + BM²

Заметим, что BM² = (BC / 2)², так как BM = MC = BC / 2.

Подставляем BM² = (BC / 2)²:

36 = BC² / 4 + (BC / 2)²

Теперь у нас есть уравнение относительно BC.

Площадь треугольника ABC можно выразить через основание BC и высоту h, проведенную к этому основанию: S = (1/2) * BC * h

Площадь S равна 192 см². Подставляем это значение и продолжаем решение:

192 = (1/2) * BC * h

Заметим, что h - это радиус вписанной окружности r:

h = r = 6 см

Подставляем h = 6 см:

192 = (1/2) * BC * 6

Решаем уравнение относительно BC:

BC * 3 = 192 BC = 192 / 3 BC = 64 см

Таким образом, мы нашли длину основания треугольника BC, которая равна 64 см.

Согласно условию, основание BC больше боковой стороны на 4 см:

BC = AB + 4

Подставляем значение BC = 64 см:

64 = AB + 4

Находим значение AB:

AB = 64 - 4 AB = 60 см

Таким образом, боковая сторона треугольника AB также равна 60 см.

Итак, стороны равнобедренного треугольника ABC: AB = 60 см, AC = BC = 64 см.

Это подробное решение обоих задач. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется дополнительное объяснение, пожалуйста, дайте знать.