Question

В четырехугольник ABCD вписана окружность. AB=10, CD= 2AB. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

Answer 1

Объяснение:

Окружность мы можем вписать только тогда, когда суммы противоположной сторон равны, отсюда BC+CD=BC+AD. Потом просто подставляем значения сторон

Answer 2

Пусть $O$ - центр вписанной окружности, $r$ - её радиус. Так как $O$ - центр окружности, $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности и таким образом, $OA = OC = r$.

Также дано, что $AB = 10$ и $CD = 2AB = 20$.

Чтобы найти периметр $ABCD$, нужно сложить длины всех его сторон:

$$\begin{align*} \text{Периметр} &= AB + BC + CD + DA \\ &= AB + (OA + OC) + CD + (OA + OC) \\ &= AB + AB + CD + CD + 2 \cdot (OA + OC) \\ &= 10 + 10 + 20 + 20 + 2 \cdot 2r \\ &= 60 + 4r. \end{align*}$$

Однако, $r$ радиус вписанной окружности, можно выразить через полупериметр $p$ и площадь $S$ четырехугольника $ABCD$:

$$r = \frac{S}{p},$$

где

$$S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - CD)},$$

а

$$p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{10 + BC + 20 + DA}{2} = \frac{30 + BC + DA}{2}.$$

Подставляя $r$ из первого уравнения во второе, получим

$$r = \frac{S}{p} \Rightarrow S = r \cdot p.$$

Соответственно,

$$S = r \cdot \frac{30 + BC + DA}{2} = r \cdot \frac{30 + 2r + 2r}{2} = r \cdot (15 + 2r).$$

Теперь, возвращаясь к выражению для периметра:

$$\text{Периметр} = 60 + 4r = 60 + 4 \cdot \frac{S}{p} = 60 + 4 \cdot \frac{r \cdot (15 + 2r)}{\frac{30 + 2r + 2r}{2}} = 60 + 4 \cdot \frac{r \cdot (15 + 2r)}{15 + 4r}.$$

Это выражение для периметра $ABCD$ в терминах радиуса $r$ вписанной окружности. Для окончательного ответа, нужно знать значение $r$ или как-то дополнительно связать его с данными.