Question

Докажите теорему о числе диагоналей выпуклого многоугольника

Answer 1

Ответ:

d=n(n-3)/2

Объяснение:

Из каждой вершины n-угольника можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних, т.е. n - 3 диагонали. Поскольку каждая диагональ соединяет две вершины, то общее количество диагоналей: d=n(n-3)/2

Answer 2

Для доказательства теоремы о числе диагоналей выпуклого многоугольника, давайте разобьем задачу на более мелкие шаги.

Теорема: В выпуклом многоугольнике с $n$ вершинами число диагоналей $D$ можно выразить по формуле:

$D = \frac{n(n - 3)}{2}$

Доказательство:

1. Базовый случай: Предположим, у нас есть треугольник (т.е., $n = 3$ вершины). В треугольнике нет диагоналей, так как все вершины уже соединены рёбрами. Подставляем $n = 3$ в формулу:

   $D = \frac{3(3 - 3)}{2} = 0$

   Это соответствует действительности.

2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для выпуклых многоугольников с $k$ вершинами ($k \geq 3$).

3. Индукционный шаг: Рассмотрим выпуклый многоугольник с $k+1$ вершиной. Выберем произвольную вершину $A$ этого многоугольника. Проведем диагонали из вершины $A$ во все остальные вершины. Таким образом, вершина $A$ будет соединена с $k$ вершинами, и мы получим $k$ треугольников.

   • Каждый из этих треугольников представляет собой выпуклый многоугольник с $3$ вершинами. Исходя из базового случая, в каждом таком треугольнике нет диагоналей.

   • Кроме того, каждая проведенная из вершины $A$ диагональ соединяет $A$ с одной из оставшихся $k$ вершин.

   Таким образом, на данном этапе мы добавили $k$ диагоналей.

   Используем индукционное предположение: число диагоналей в оставшемся выпуклом многоугольнике с $k$ вершинами равно $\frac{k(k - 3)}{2}$.

   Таким образом, общее число диагоналей в выпуклом многоугольнике с $k+1$ вершиной будет:

   $D_{k+1} = \text{число диагоналей в многоугольнике с } k \text{ вершинами} + k = \frac{k(k - 3)}{2} + k$

   Проводим несложные алгебраические преобразования:

   $D_{k+1} = \frac{k(k - 3)}{2} + \frac{2k}{2} = \frac{k^2 - 3k + 2k}{2} = \frac{k^2 - k}{2} = \frac{k(k - 1)}{2}$

   Это и есть число диагоналей в выпуклом многоугольнике с $k+1$ вершиной.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для многоугольников с $k$ вершинами, то оно верно и для многоугольников с $k+1$ вершинами. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n \geq 3$.