Question

Грань ABCD прямокутного паралелепипеда ABCD ; A1B1C1D1 є квадратом, а ребро AA1 удвічі більше за ребро АВ. Знайдіть кут між прямими: 1) AB1 i CD 2) AB1 i CD1 3) AB1 i A1B1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Кут між прямими AB1 і CD дорівнює куту між їхніми напрямками, які є перпендикулярними до площин ABCD і A1B1C1D1 відповідно. Оскільки квадрат A1B1C1D1 лежить в площині, перпендикулярній до AB і CD, напрямки цих прямих також будуть перпендикулярними до цієї площини.

Отже, кут між прямими AB1 і CD дорівнює куту між векторами AB і CD, які лежать в площині ABCD і мають напрямки вздовж сторін прямокутника. Оскільки прямокутник ABCD є прямокутним, ці напрямки є перпендикулярними, тому кут між ними дорівнює 90 градусів.

2) Кут між прямими AB1 і CD1 дорівнює куту між їхніми напрямками, які є перпендикулярними до площин A1B1C1 і ABCD відповідно. Оскільки квадрат A1B1C1D1 є проекцією прямокутника ABCD на площину A1B1C1, вектори AB1 і CD1 мають напрямки, що лежать в цій площині. Таким чином, кут між прямими AB1 і CD1 дорівнює куту між векторами AB1 і CD1 в площині A1B1C1.

Оскільки сторона квадрата A1B1C1D1 дорівнює ребру прямокутника ABCD, а кут між сторонами квадрата дорівнює 90 градусів, вектори AB1 і CD1 мають однакову довжину і кут між ними дорівнює 90 градусів.

3) Кут між прямими AB1 і A1B1 дорівнює куту між їхніми напрямками, які є перпендикулярними до площин AB1D1 і A1B1C1 відповідно. Оскільки квадрат A1B1C1D1 є проекцією прямокутника ABCD на площину A1B1C1, а ребро AA1 удвічі більше за ребро АВ, то точка А лежить на більшому діагоналі квадрата, а точка В - на меншому діагоналі. Отже, вектор AB1 не паралельний вектору A1B1 і кут між ними не дорівнює 0 або 180 градусів.

Для знаходження кута між векторами AB1 і A1B1 скористаємося тригонометрією. Позначимо ребро паралелепіпеда через a, тоді ребро квадрата дорівнює a, а ребро вектора AA1 дорівнює 2a.

Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини вектора AB1:

AB1^2 = AB^2 + B1B^2 = a^2 + (a/√2)^2 = 3a^2/2

Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини вектора A1B1:

A1B1^2 = AB1^2 + A1A^2 = 3a^2/2 + (2a/√2)^2 = 7a^2

Таким чином, довжина вектора AB1 дорівнює √(3a^2/2), а довжина вектора A1B1 дорівнює √(7a^2).

Знаходимо дотичну до квадрата A1B1C1D1, проведену в точці B1. Вона співпадає зі стороною B1C1 і є перпендикулярною до A1B1. Отже, кут між прямими AB1 і A1B1 дорівнює куту між векторами AB1 і B1C1.

Вектор B1C1 лежить в площині квадрата A1B1C1D1 і має напрямок, що лежить в цій площині. Оскіль

Answer 2

Для розуміння задачі давайте почнемо з'ясовувати, що означають позначення та геометричні відношення, які наведені в питанні.

Позначення

- ABCD: грань прямокутного паралелепіпеда. - A1B1C1D1: квадрат, утворений на грані ABCD. - AA1: ребро паралелепіпеда, яке удвічі більше за ребро AB.

Відношення

Задача вимагає знайти кут між прямими:

1) AB1 і CD. 2) AB1 і CD1. 3) AB1 і A1B1.

Зараз, коли ми зрозуміли позначення та відношення, давайте розглянемо кожне відношення окремо.

Відношення 1: AB1 і CD

Для знаходження кута між прямими AB1 і CD, ми можемо скористатися властивістю паралелограма. У паралелограмі протилежні сторони рівні та паралельні.


Оскільки AB1 і CD є протилежними сторонами прямокутного паралелепіпеда, ми знаємо, що вони рівні та паралельні. Таким чином, кут між прямими AB1 і CD буде 180 градусів або прямим (90 градусів).

Відношення 2: AB1 і CD1

За аналогічною логікою, оскільки AB1 і CD1 є протилежними сторонами квадрата A1B1C1D1, ми можемо стверджувати, що вони також є рівними та паралельними. Тому кут між прямими AB1 і CD1 буде також 180 градусів або прямим (90 градусів).

Відношення 3: AB1 і A1B1

Оскільки AB1 і A1B1 - ребра квадрата A1B1C1D1, вони мають спільний кут у вершині A1. Залежно від конфігурації паралелепіпеда (наприклад, кутів), кут між прямими AB1 і A1B1 може бути будь-яким значенням від 0 до 90 градусів.

Отже, відповідно до задачі:

1) Кут між прямими AB1 і CD дорівнює 180 градусів або прямому куту (90 градусів). 2) Кут між прямими AB1 і CD1 дорівнює 180 градусів або прямому куту (90 градусів). 3) Кут між прямими AB1 і A1B1 може бути будь-яким значенням від 0 до 90 градусів, залежно від конфігурації паралелепіпеда.