Question

Площадь основания конуса составляет 36 π см², а площадь полной поверхности - 96 π см². Найти объем конуса.

Answer 1

Объяснение:

Sосн=36 π см²

Sп.п=96π см²

Vк - ?

площадь основания Sосн=πR² =36π см² отсюда

радиус основания конуса

R=√πR²/π=√36π/π=√36=6 см

площадь боковой поверхности конуса

Sб.п=πRL=Sп.п-Sосн=96π-36π=60π см²

образующая конуса

L=Sб.п/πR=60π/6π=10 см

находим

высоту конуса по теореме Пифагора

для прямоугольного треугольника

Н=√L²-R²=√10²-6²=√100-36=√64=8 см

объем конуса

Vк=1/3 ×Sосн×Н=1/3 ×36π×8=96π см²

Answer 2

Обозначим площадь основания конуса как $B$ и площадь полной поверхности как $S$.

Известно, что: $B = 36\pi \, \text{см}^2$ $S = 96\pi \, \text{см}^2$

Для конуса считается, что его полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания. Боковая поверхность конуса представляет собой сектор круга, который можно развернуть в образующую конуса. Поэтому площадь боковой поверхности можно выразить как $\frac{1}{2} \times \text{образующая} \times \text{окружность основания}$.

Таким образом, $S = B + \frac{1}{2} \times \text{образующая} \times \text{окружность основания}$.

Выразим образующую конуса ($l$) из этого уравнения: $\frac{1}{2} \times l \times 2\pi r = S - B$ $l \times \pi r = 2S - 2B$ $l = \frac{2S - 2B}{\pi r}$

Теперь у нас есть выражение для образующей конуса. Далее, мы можем использовать формулу объема конуса: $V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times l$

Подставим выражение для $l$: $V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times \frac{2S - 2B}{\pi r}$ $V = \frac{2}{3} (S - B)$ $V = \frac{2}{3} (96\pi - 36\pi)$ $V = \frac{2}{3} \times 60\pi$ $V = 40\pi \, \text{см}^3$

Итак, объем конуса составляет $40\pi \, \text{см}^3$.