Question

Конус пересечён плоскостью, которая перпендикулярна высоте конуса и делит её на отрезки в отношении 1: 3, считая от вершины. Площадь сечения равна 7π. Вычисли площадь основания конуса

Answer 1

Объяснение:

В осевом сечении получится равнобедренный ΔКВМ , с АС║КМ, ВН⊥КМ ,S(м)=7π, ВО/ОН=1/3.

S(круга)= π r²,  7π=πr²  ,  r=√7  , АО=√7.

ΔАВО подобен ΔКВН по двум углам: ∠А-общий,∠ВАО=∠ВКН как соответственные при АС║КМ, ВК-секущая.Значит сходственные стороны пропорциональны :

АО/КН=1/4=АО/КН

1/4=√7/КН

КН=4√7.

S(нижнего основания конуса)= π(4√7)²=112π .

2 способ.

Полученное сечение(круг) параллельно плоскости основания(кругу). Они подобны с к=1/4. Значит их площади относятся как к²⇒

S(м):S(б)=к² или 7π/S(б)=1/16  , S(б)=7π*16=112π.

 

Answer 2

Пусть высота конуса равна $h$, а радиус его основания равен $r$.

Согласно условию, плоскость пересекает высоту конуса на отрезки в отношении 1:3. Это означает, что от вершины до плоскости мы имеем $h_1 = \frac{h}{4}$, а от плоскости до основания - $h_2 = \frac{3h}{4}$.

Площадь сечения, образованного этой плоскостью, равна $7\pi$. Площадь сечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, равна $\pi r^2$.

Так как треугольники подобны (по правилу угол-угол-угол), мы можем использовать их для определения соотношения между $r$ и $h_2$:

$\frac{r}{r + h_1} = \frac{h_2}{h} = \frac{3h}{4h} = \frac{3}{4}$.

Решая это уравнение относительно $r$, получим:

$r = \frac{3}{4} (r + h_1)$ $4r = 3r + \frac{3}{4}h$ $r = \frac{3}{4}h$.

Теперь мы можем выразить площадь основания конуса через радиус:

$A_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}h\right)^2 = \pi \cdot \frac{9}{16}h^2$.

Мы знаем, что площадь сечения равна $7\pi$, поэтому:

$A_{\text{сеч}} = 7\pi = \pi r^2 = \pi \cdot \frac{9}{16}h^2$.

Решая это уравнение относительно $h^2$, получаем:

$h^2 = \frac{7 \cdot 16}{9}$.

И, наконец, площадь основания конуса:

$A_{\text{осн}} = \pi \cdot \frac{9}{16}h^2 = \pi \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{7 \cdot 16}{9} = 7\pi$.

Таким образом, площадь основания конуса равна $7\pi$.