Question

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) отрезок A1 C1, соединяющий основания высот AA1 и CC1, в 3 раза меньше боковой стороны. Во сколько раз длина окружности, описанной около треугольника, больше длины окружности, вписанной в треугольник?

Answer 1

Вот решение задачи.......

Answer 2

Пусть $AB = AC = a$ - длина основания треугольника $ABC$, $BC = a$ - длина боковой стороны, $h$ - высота треугольника, проведенная из вершины $A$.

По условию, отрезок $A1C1$ равен $\frac{1}{3}$ длины боковой стороны, то есть $A1C1 = \frac{1}{3}a$.

Так как треугольник $ABC$ - равнобедренный, то высота $h$ является медианой, а также биссектрисой. Это означает, что $A1C1$ - медиана треугольника $ABC$, и она делит её пополам, а также делит $h$ пополам.

Таким образом, $AA1 = \frac{a}{2}$, $CC1 = \frac{a}{2}$ и $h = 2A1C1 = \frac{2}{3}a$.

Рассмотрим вписанную окружность. Радиус вписанной окружности можно найти с помощью формулы $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника. Площадь треугольника можно найти как $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, а полупериметр $p = \frac{3}{2}a$.

Таким образом, радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{2}{3}a}{\frac{3}{2}a} = \frac{a}{3}$

Для описанной окружности радиус равен половине длины боковой стороны:

$R = \frac{a}{2}$

Теперь мы можем найти отношение длин окружностей:

$\frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{3}} = \frac{3}{2}$

Итак, длина окружности, описанной около треугольника, больше длины окружности, вписанной в треугольник, в $\frac{3}{2}$ раза.