Question

Дано чотири точки А(0; 1; 1), В(1; 1; 2), С(2;-2; 2), D(2; -3; 1). Знайдіть кут між векторами АВ і СD.​

Answer 1

Находим векторы.

Векторы AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = 1  0  1 √2 =  1,414213562

      CD = √((xD-xC)²+(yD-yC)²+(zD-zC)²) = 0     -1     -1 √2 = 1,414213562

Скалярное произведение их равно 1*0+0*(-1)+1*(-1) = -1.

cos(AB_CD) = -1/(√2*√2) = -1/2.

Угол равен 120 градусов

Answer 2

Кут між двома векторами можна знайти за допомогою скалярного добутку векторів та їхньої довжини. Спочатку знайдемо вектори AB та CD, а потім знайдемо кут між ними.

Вектор AB = B - A = (1 - 0, 1 - 1, 2 - 1) = (1, 0, 1) Вектор CD = D - C = (2 - 2, -3 - (-2), 1 - 2) = (0, -1, -1)

Довжина вектора може бути знайдена за формулою: ||v|| = √(v₁² + v₂² + v₃²), де v₁, v₂, v₃ - координати вектора.

Довжина вектора AB: ||AB|| = √(1² + 0² + 1²) = √2

Довжина вектора CD: ||CD|| = √(0² + (-1)² + (-1)²) = √2

Тепер знайдемо скалярний добуток векторів AB та CD: AB · CD = (1 * 0) + (0 * -1) + (1 * -1) = -1

Кут між векторами можна знайти за допомогою формули скалярного добутку векторів: cos(θ) = (AB · CD) / (||AB|| * ||CD||)

де θ - шуканий кут.

Підставляючи значення: cos(θ) = -1 / (√2 * √2) = -1 / 2

Знаючи значення косинуса, ми можемо знайти кут θ: θ = arccos(-1/2)

Використовуючи тригонометричні таблиці або калькулятор, отримуємо: θ ≈ 120 градусів

Отже, кут між векторами AB і CD близько 120 градусів.