Question

В усеченном конусе радиусы оснований равны 6 и 10. Найти объем и площадь полной поверхности, если угол между образующей и радиусом равен 60 градусов.

Answer 1

Ответ:

V=1/3пH(R1в квадрате + R1*R2 + R2 в квадрате)  . Радиусы нам известны R1=10 R2=6. Нам нужно узнать только высоту. рассмотрим треугольник СКД , где угол СДК=60, СК-высота, проведенная из вершины С. СК-искомая высота. рассмотрим трапецию АБСД. (БН-  высота, проведенная из вершины Б) НК=БС( т.к трапеция равнобедренная) пусть АН= КД=х. Тогда  х+ 2*R1 +x=2*R2.  2х+12=20. 2х=8. х=4.  в тругольнике  СКД выразим тангенс угла в 60 градусов.  tg60=СК/КД.  СК=(корень из 3)*4.   V=1/3*п* (корень из 3)*4 *(36 + 60 +100)= 784/3*п* корень из 3

Удачи)

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем высоту усеченного конуса.
2. Найдем объем усеченного конуса.
3. Найдем площадь полной поверхности усеченного конуса.

Шаг 1: Нахождение высоты усеченного конуса

Для начала, давайте обратим внимание на сечение усеченного конуса, которое содержит вершину конуса, вершины усеченного конуса и центр большего основания. Это образует равносторонний треугольник с углом 60 градусов.

Половина основания этого равностороннего треугольника равна 6 (половина радиуса меньшего основания). Так как это равносторонний треугольник, его высота равна (больший радиус - меньший радиус) = 10 - 6 = 4.

Теперь давайте найдем высоту усеченного конуса, используя теорему Пифагора: $h^2 = r^2 - (R - r)^2$ где $h$ - высота усеченного конуса, $r$ - радиус меньшего основания, $R$ - радиус большего основания.

Подставим известные значения: $h^2 = 6^2 - (10 - 6)^2 = 36 - 16 = 20$ $h = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

Шаг 2: Нахождение объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса можно найти по следующей формуле: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$

Подставим известные значения: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \sqrt{5} \cdot (10^2 + 6^2 + 10 \cdot 6) = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \sqrt{5} \cdot (100 + 36 + 60) = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 196 = \frac{392}{3} \pi \sqrt{5}$

Шаг 3: Нахождение площади полной поверхности усеченного конуса

Площадь полной поверхности усеченного конуса состоит из площади меньшего основания, площади большего основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $S_{\text{бок}} = \pi (R + r) \cdot l$ где $l$ - образующая усеченного конуса.

Образующая $l$ может быть найдена как гипотенуза равностороннего треугольника с катетами $R - r$ и $h$: $l^2 = (R - r)^2 + h^2$ $l = \sqrt{(10 - 6)^2 + (2 \sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$

Теперь, подставив значения в формулу для площади боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = \pi (10 + 6) \cdot 6 = 16 \pi \cdot 6 = 96 \pi$

Площадь меньшего основания: $S_{\text{мал}} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36 \pi$

Площадь большего основания: $S_{\text{больш}} = \pi R^2 = \pi \cdot 10^2 = 100 \pi$

Итак, площадь полной поверхности: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{мал}} + S_{\text{больш}} = 96 \pi + 36 \pi + 100 \pi = 232 \pi$

Таким образом, объем усеченного конуса составляет $\frac{392}{3} \pi \sqrt{5}$