Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=x^2,y=3x. ​

Answer 1

Решение:

Приравняем данные функции и решим полученное уравнение:

$x^2=3x \\ \\ x^2-3x=0 \\ \\ x\cdot(x-3)=0 \\ \\ \left[\begin{array} xx=0 \\ x-3=0\end{array}\right \Rightarrow \left[\begin{array} xx=0 \\ x=3\end{array}\right$

Теперь найдём интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int\limits^3_0 ({3x-x^2)} \, dx=\Big(\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\Big) \Big|^3_0= \\ \\ \dfrac{27}{2}-9-0=\dfrac{27-18}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5$

Ответ: $\boxed{\boxed{S=4,5}}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = 3x, нужно найти точки их пересечения и затем интегрировать разность между ними по переменной x.

Сначала найдем точки пересечения:

y = x^2 y = 3x

Приравнивая оба уравнения:

x^2 = 3x

Переносим все в одну сторону и получаем:

x^2 - 3x = 0

Факторизуем:

x(x - 3) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 3.

Теперь мы можем найти соответствующие значения y для каждого x:

Для x = 0: y = 0^2 = 0

Для x = 3: y = 3^2 = 9

Таким образом, точки пересечения - (0, 0) и (3, 9).

Теперь интегрируем разность кривых между этими точками по переменной x, чтобы найти площадь:

Площадь = ∫(нижний предел до верхнего предела) (y верхней кривой - y нижней кривой) dx

Подставляем уравнения кривых: Площадь = ∫(0 до 3) (3x - x^2) dx

Интегрируем: Площадь = [3/2 * x^2 - 1/3 * x^3] (от 0 до 3) Площадь = [3/2 * 3^2 - 1/3 * 3^3] - [0] Площадь = (27/2 - 27) - 0 Площадь = -27/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = 3x, равна -27/2 квадратных единиц.