Question

Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.​

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые геометрические знания и нотации.

Пусть точка пересечения медианы BM и биссектрисы AP треугольника ABC обозначается как K. Также, пусть точка пересечения биссектрисы AP и стороны BC обозначается как M, а точка пересечения медианы BM и стороны AC обозначается как N.

Условие гласит, что длина стороны AC втрое больше длины стороны AB: AC = 3 * AB.

Для начала, давайте рассмотрим соотношение сторон треугольников ABK и AMK. Треугольник AMK — это подобный треугольнику ABC по двум признакам:

1. Общий угол при вершине A.
2. Угол между биссектрисой и стороной параллелен углу между медианой и стороной (так как медиана делит сторону пополам).

Таким образом, AMK подобен ABC.

Поскольку AMK и ABC подобны, отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин биссектрисы AM к медиане BM:

AM/AB = AK/AC

Так как AK = 2/3 AC (так как K — точка пересечения медианы и биссектрисы, и медиана делит биссектрису в отношении 2:1), у нас есть:

AM/AB = 2/3

Теперь давайте рассмотрим треугольник AKM. Мы знаем, что AM/AB = 2/3. Давайте выразим AM через AB: AM = 2/3 * AB.

Теперь мы можем выразить MK через AB, так как MK = AM - AK:

MK = 2/3 * AB - AB = (2/3 - 1) * AB = -1/3 * AB

Таким образом, MK = -1/3 * AB.

Теперь рассмотрим четырёхугольник KPCM. Мы знаем, что MK = -1/3 * AB и NC = 1/2 * AC = 1/2 * 3 * AB = 3/2 * AB.

Площадь четырёхугольника KPCM можно разбить на две площади: площадь треугольника MKC и площадь треугольника NCP.

Площадь треугольника MKC:

S_MKC = (1/2) * MK * KC = (1/2) * (-1/3 * AB) * (2 * AB) = -1/3 * AB^2

Площадь треугольника NCP:

S_NCP = (1/2) * NC * CP = (1/2) * (3/2 * AB) * AB = 3/4 * AB^2

Теперь найдем отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM:

S_ABK / S_KPCM = (1/2) * AB * AK / (S_MKC + S_NCP) = (1/2) * AB * (2/3 * AC) / (-1/3 * AB^2 + 3/4 * AB^2) = (1/2) * AB * (2/3 * 3 * AB) / (1/12 * AB^2) = AB^2 / AB^2 = 1

Итак, отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM равно 1.