Question

Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC от­но­сит­ся к длине сто­ро­ны AB как 7:10. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.​

Answer 1

Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC от­но­сит­ся к длине сто­ро­ны AB как 7:10. Най­ди­те

от­но­ше­ние площади тре­уголь­ни­ка AKM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.​

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства медианы и биссекрисы треугольника.

Дано:

• Длина стороны AC относится к длине стороны AB как 7:10.
• Медиана BM и биссекриса AP пересекаются в точке K.

Сначала давайте введем обозначения: Пусть M - середина стороны BC, P - точка пересечения биссекрисы AP и стороны BC.

Так как медиана делит сторону BC пополам, то BM = MC.

Из условия, что AC делится в отношении 7:10, можно сказать, что:

AC / AB = 7 / 10

Так как AM - медиана, она делит сторону BC в отношении 1:2, а значит:

BM / MC = 1 / 2

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он разделяется биссекрисой AP на два треугольника ACP и ABP. По теореме о биссекрисе:

BP / PC = AB / AC

Подставляем известные отношения:

BP / PC = 10 / 7

Теперь у нас есть отношения длин сторон BP и PC, а также BM и MC. Из подобия треугольников BKP и MKC следует:

BP / PC = BM / MC

Таким образом, у нас есть два равных отношения: BP / PC = BM / MC = 10 / 7.

Теперь рассмотрим треугольники AKB и AKC. Они имеют общую высоту AK и стороны, параллельные сторонам треугольника ABC, что означает, что они подобны. Следовательно:

Площадь треугольника AKB / Площадь треугольника AKC = (AK)^2 / (AC)^2 = (AK / AC)^2

Подставляем AK / AC = BP / (BP + PC) = 10 / (10 + 7) = 10 / 17.

Таким образом, отношение площади треугольника AKB к площади треугольника AKC равно (10 / 17)^2 = 100 / 289.

Таким образом, отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC равно 100 / 289.