Question

Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найти площадь осевого сечения конуса.

Answer 1

Дано:

конус.

l (или РА, ВР) = 12 см

∠РВА = 30°

Найти:

S осевого сечения - ?

Решение:

Осевое сечение данного конуса (если секущая плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота Н (или РО) делит этот треугольник на два прямоугольных треугольника.

=> △ВРА - равнобедренный

=> △ВРО и △АРО - прямоугольные.

Рассмотрим △ВРО:

∠РВА = 30°

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> Н (или РО) = 12/2 = 6 см

Найдём радиус R (или ВО,ОА) по теореме Пифагора:

с² = а² + b²

b = √(c² - a²)

b = √(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 см

Итак, R (или ВО,ОА) = √108 см

Так как △ВРА - равнобедренный => △ВРО = △АРО (их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △ВРА - равнобедренный)

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов:

=> S△АРО = ((√108) * 6)/2 = 18√3 см²

В равных треугольниках равные площади.

=> S△АРО = S△ВРО = 18√3 см²

=> S△ВРА = 18√3 + 18√3 = 36√3 см²

Ответ: 36√3 см²

Answer 2

Площадь осевого сечения конуса зависит от того, каким образом это сечение проходит через конус. Предположим, что осевое сечение проходит параллельно основанию конуса. В таком случае, это будет круговое сечение.

Площадь кругового сечения можно найти с помощью формулы для площади круга: $S = \pi r^2$, где $r$ - радиус кругового сечения.

Для нахождения радиуса $r$ кругового сечения, нам нужно учесть, что образующая конуса и радиус кругового сечения будут связаны углом наклона. Образующая конуса, радиус кругового сечения и образующая вместе образуют прямоугольный треугольник. У нас есть образующая $l = 12$ см и угол наклона $\theta = 30^\circ$.

С помощью тригонометрии, мы можем найти радиус $r$ кругового сечения:

$r = l \cdot \cos(\theta)$

Подставив значения, получим:

$r = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}$

Теперь мы можем найти площадь кругового сечения:

$S = \pi r^2 = \pi \cdot (6 \sqrt{3})^2 = 36 \pi \cdot 3 = 108 \pi \text{ см}^2$

Таким образом, площадь осевого сечения конуса, параллельного его основанию, составляет $108 \pi$ квадратных сантиметров.