Question

Помогите Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами (6,0) и (-6,0) , проходящих через точку (- 4,12)

Answer 1

Даны  фокусы (6,0) и (-6,0) и точка М(- 4; 12).

Пусть точка M(x, y) принадлежит эллипсу, F1 и F2 —  его фокусы.

Для эллипса |F1M| + |F2M| = 2a.

Находим векторы:

|F1M| = √(-4 - 6)² + (12 - 0)²) = √(100 + 144) = √244 = 2√61.

|F2M| = √(-4 - (-6)² + (12 - 0)²) = √(4 + 144) = √148 = 2√37.

Находим параметр а = (2√61 + 2√37)/2 =  √61 + √37.

Параметр b² = a² - c² = (√61 + √37)² - 6².

Получаем уравнение эллипса:

(x²/((√61 + √37)²) + (y²/((√61 + √37)² - 6²) = 1.

Для гиперболы |F1M| - |F2M| = 2a.

Находим параметр а = (2√61 - 2√37)/2 =  √61 - √37.

Параметр b² = c² - a² = (6² - (√61 - √37)².

Получаем уравнение гиперболы:

(x²/((√61 - √37)²) - (y²/((6² - (√61 - √37)²) = 1.

Answer 2

Для написания уравнений эллипса и гиперболы с данными характеристиками, мы можем использовать стандартные уравнения и адаптировать их под наши параметры.

1. Эллипс: Стандартное уравнение эллипса с фокусами (0, c) и (0, -c), проходящими через точку (a, b), выглядит следующим образом:

$\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{(y - b)^2}{b^2} = 1.$

Здесь a - большая полуось эллипса, b - малая полуось, а c - расстояние от центра эллипса до фокусов. В данном случае фокусное расстояние равно 6, следовательно, $c = 6$, а точка (a, b) = (-4, 12).

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{(x + 4)^2}{a^2} + \frac{(y - 12)^2}{b^2} = 1.$

2. Гипербола: Стандартное уравнение гиперболы с фокусами (0, c) и (0, -c), проходящими через точку (a, b), выглядит следующим образом:

$\frac{(x - a)^2}{a^2} - \frac{(y - b)^2}{b^2} = 1.$

Здесь также a - расстояние от центра гиперболы до вершин, b - расстояние от центра гиперболы до вершин перпендикулярно полуосям, и c - расстояние от центра до фокусов. В данном случае фокусное расстояние равно 6, следовательно, $c = 6$, а точка (a, b) = (-4, 12).

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{(x + 4)^2}{a^2} - \frac{(y - 12)^2}{b^2} = 1.$

Это будут уравнения эллипса и гиперболы соответственно, проходящих через заданную точку и имеющих заданные фокусные точки.