Question

Привести уравнения данных кривых II порядка к каноническому виду и построить кривые. Для окружности указать координаты центра и длину радиуса. Для эллипса и гиперболы указать координаты центра, вершин и фокусов. Для гиперболы также написать уравнения асимптот. Для параболы указать координаты вершин, фокуса и точек её пересечения с осями Ox и Oy, написать уравнение ее оси. X^2+3X+Y=0

Answer 1

Заданное уравнение x^2+3x+y=0 определяет параболу (λ2 = 0)

Выделяем полные квадраты:

(x^2+2·(3/2)x + (3/2)^2) -1·(3/2)^2 = (x+(3/2))^2-(9/4 ).

Преобразуем исходное уравнение:

(x+(3/2))^2 = -y + (9/4).

Получили уравнение параболы:

(x - x0)2 = 2p(y - y0) .

(x-(-3/2))^2 = 2·(-1/2)(y - (9/4) ).

Ветви параболы направлены вниз (p<0), вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (-3/2; (9/4) ).

Параметр p = -1/2

Координаты фокуса:   F((-3/2); 2).

Уравнение директрисы: y = y0 - (p/2 )

y = (9/4) - (-1/4) = 5/2

Детальнее параметры кривой даны во вложении.

Answer 2

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, давайте сначала определим тип кривой, исходя из коэффициентов уравнения. Уравнение, которое дано:

X^2 + 3X + Y = 0

По коэффициентам можно определить тип кривой. В данном случае, коэффициент при X^2 равен 1, а коэффициенты при X и Y не равны нулю. Это уравнение представляет собой параболу.

Для приведения параболы к каноническому виду, нужно переписать его в виде, подходящем для соответствующего типа параболы (парабола с вертикальной или горизонтальной осью). Ваша задача - найти координаты вершины, фокуса и точек пересечения с осями Ox и Oy, а также уравнение оси.

Сначала преобразуем уравнение:

X^2 + 3X + Y = 0

Выделим полный квадрат для X:

(X^2 + 3X + 9/4) + Y = 9/4

Теперь перепишем уравнение в виде:

(X + 3/2)^2 + Y = 9/4

Теперь у нас есть уравнение параболы в канонической форме с вертикальной осью. Координаты вершины параболы: (-3/2, -9/4), фокуса: (-3/2, -2) и точек пересечения с осями Ox и Oy:

• Ось Ox: Y = 0, тогда X = -3/2.
• Ось Oy: X = 0, тогда Y = 9/4.

Уравнение оси параболы будет иметь вид X = -3/2.

Таким образом, для данной параболы:

• Координаты вершины: (-3/2, -9/4)
• Координаты фокуса: (-3/2, -2)
• Уравнение оси: X = -3/2
• Точка пересечения с осью Ox: (-3/2, 0)
• Точка пересечения с осью Oy: (0, 9/4)

Кривая имеет вертикальную ориентацию и направлена вниз.