Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Известно, что AB = BD. Пусть точка M - середина боковой стороны CD , а O - точка пересечения отрезков AC и BM . Докажите, что треугольник BOC - равнобедренный.

Answer 1

Решение : /////////////////////////////////

Answer 2

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Известно, что AB = BD. Пусть точка M - середина боковой стороны CD , а O - точка пересечения отрезков AC и BM . Докажите, что треугольник BOC - равнобедренный.

Объяснение:

Пусть СH║BD ⇒ DВСH-параллелограмм ( по определению параллелограмма) . СH=BD=AB ⇒ABCH - равнобедренная трапеция ⇒АС=ВН.

ΔАВС=ΔНСВ по 3-м сторонам  АС=ВН,АВ=СН, ВС-общая ⇒ соответственные элементы равны ∠ВСО=∠ОВС ⇒треугольник BOC - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника

Answer 3

Чтобы доказать, что треугольник BOC - равнобедренный, мы должны показать, что отрезок OB равен отрезку OC. Для этого мы воспользуемся свойством подобных треугольников.

Рассмотрим треугольник BMD. Поскольку точка M является серединой стороны CD, то BM является медианой треугольника BCD. Известно, что медиана делит сторону треугольника пополам, поэтому BM = MD.

Также из условия задачи AB = BD. Объединяя эти два равенства, получаем AB = BM + MD.

Рассмотрим треугольник BOC. По теореме Менелая для треугольника ACD, примененной к отрезкам BM, MO и OC, получаем:

AC/CM * MO/OB * OB/BD = 1.

Поскольку точка M является серединой стороны CD, то AC/CM = 2. Также известно, что AB = BD. Значит, OB/BD = OB/AB = 1/2.

Подставим эти значения в уравнение Менелая:

2 * MO/OB * (1/2) = 1.

Упростим уравнение:

MO/OB = 1/2.

Теперь рассмотрим треугольник BMO. Мы знаем, что BM = MD и MO/OB = 1/2. Это означает, что треугольник BMO и треугольник BDO подобны.

По свойству подобных треугольников, соответственные стороны пропорциональны. То есть, BM/BD = MO/BO.

Учитывая, что BM = MD и упрощая, получаем:

1/2 = MO/BO.

Умножим обе части равенства на 2:

1 = MO/BO.

Это означает, что отношение MO/BO равно 1. Это возможно только в случае, когда отрезок MO равен отрезку BO.

Таким образом, мы показали, что OB = OC, и треугольник BOC является равнобедренным.